无穷级数的概念及性质.doc

6.1 无穷级数的概念及其性质教学目的：通过讲授，使学生理解级数、级数收敛的概念，会用级数收敛的定义判断级数的敛散性，并掌握几何级数、级数的敛散性和数项级数的基本性质.教学重点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性，几何级数、级数的敛散性，数项级数的基本性质.教学难点：用级数收敛的定义判断级数的敛散性.课堂安排：复习：1. 数列的相关概念 2. 数列的前项和（等比数列、等差数列） 3. 数列的极限一 数项级数的概念1. 定义1 设有数列：，把它们的各项依次相加，得 ，称为常数项无穷级数，简称数项级数（或级数），记为，即 ，其中 称为级数的项，称为一般项（或通项）.2. 级数的部分和：称级数的前项和为级数的部分和. 级数的部分和数列：部分和组成的数列：3. 定义2 若级数的部分和数列有极限，即 则称级数收敛，称为级数的和，记为， 若没有极限，则称级数发散.注：只有收敛的级数才有和，发散级数不存在和.例1 判别级数的敛散性. 解 所给级数收敛，且.例2 判别级数的敛散性.解 所给级数收敛，且.例3 判定级数 的敛散性. 解 所给级数发散. 用定义判别级数敛散性的步骤如下：（1）求级数的部分和，方法主要有：公式求和、交叉相消、错位相减等.（2）求，用数列极限的方法.（3）得出级数敛散性的结论.练习 1、2、34. 两个重要的级数的敛散性（1）几何级数 （作为作业1证明）（2）级数 当时，级数称为调和级数.例如：、收敛，、发散.5. 定理（级数收敛的必要条件） 若级数收敛，则. 证明 得证. 注：（1） 定理反之不成立，即当时，级数不一定收敛.例如 ，但级数发散. （2）若，则级数必发散. 例4 判别级数的敛散性.解 该级数发散.二 数项级数的基本性质1. 性质1 若级数、均收敛，则收敛，且=+ 即 若，则.例5 判别级数的敛散性 解 均收敛 该级数收敛.注：（1）、敛散性不同时，发散. （2）、均发散时，敛散性不能确定. （3）收敛时，、不一定都收敛. （4）发散时，、不一定都发散.2. 性质2 设为非零常数，则与有相同的敛散性. 若，则.3. 性质3 增加、去掉或改变级数的有限项不改变级数的敛散性，但改变级数的和.因为前后级数的部分和只相差一个常数.4.性质4 收敛的级数任意加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变.注：（1）发散的级数加括号后不一定发散.例如 发散，但添括号如下时 收敛， （2）添括号后的新级数发散，则原级数必发散.练习 4三 小结1. 数项级数的概念及敛散性的定义，2. 两个重要的数项级数的敛散性，3. 数项级数的基本性质.四 作业 B 1