最值问题.doc
第34讲 最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的典型问题2有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有，+得：3（a+b+c+d）244,所以a+b+c+d81,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82评注：不能把不等式列为，如果这样将+得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况如何避免,希望大家自己解决.4用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ求算式ABCDE-FGHIJ的计算结果的最大值【分析与解】 为了使ABCDE-FGHIJ尽可能的大，ABCDE尽可能的大，FGHIJ尽可能的小则ABCDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93则FGHIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为46820所以ABCDE-FGHIJ的最大值为75193-46820=60483评注：类似的还可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值为64082-37915=46795 6将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少? 【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7 然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算 87+710+106+69+98=312; 97+710+106+68+89=313所以，最小值为3128一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少? 【分析与解】设这个两位数为=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9ak(mod a+b)特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有 (t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足； ：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79(7+9)=41510用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少? 【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下： 得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为78412. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】 设这四个分数为上、(其中m、n、a、b均为非零自然数)有+=+，则有-=-，我们从m=1,b=1开始试验：=+=+，=+=+，=+=+，=+=+，=+=+， 我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：+=+，所以最小的两个偶数和为6+10=1614.有13个不同的自然数，它们的和是100问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个但是我们必须验证看是否有实例符合当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足； 当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，135，7，9，11，13，15满足所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个
