陈湘平“让人回味无穷的一道题”.doc

让人回味无穷的一道题广东省珠海市第四中学(519015)陈湘平俗话说：数学是锻炼人们头脑思维的体操。那么一道好的数学题就是一套动作优美，欣赏后能让人回味无穷的“体操”。下面一道题就是这样的一套“体操”。在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米。每辆巡逻车最多可以装载供行驶14天的汽油。现在5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中的三辆巡逻车尽可能地向更远的距离巡逻(然后再跟其它两辆一起返回)。甲、乙两车行至B处后，留足整个车队返回驻地所必需的汽油，将多余的汽油供给另外三辆使用，问：其它三辆巡逻车可行进的最远距离是多少千米？分析：解此题的关键是点B在何处最为合适。若B点离A太近，其余三辆巡逻车无法装载甲乙两车所供的汽油；若B点离A太远，甲乙两车无法留足整个车队返回驻地所必需的汽油。解：设甲乙两辆巡逻车行驶x 天到达B处，甲乙两辆巡逻车共剩下2(14-x)天的汽油，留足整个车队返回驻地所必需5x天的汽油，则甲乙两车向其它三辆巡逻车供2(14-x)-5x天的汽油,每辆巡逻车得到天的汽油，再加上每辆巡逻车剩下(14-x)天的汽油，所以其它三辆车每辆巡逻车有+(14-x) 天的汽油，因为巡逻车每天行驶200千米，考虑到往返双程，所以后来这三辆巡逻车最多可走200千米，再加上从驻地A到B地的距离，三辆巡逻车可行进的最远距离为 y=200x+200=(70-4x) (*)因为甲乙两辆巡逻车行驶x 天到达B处所剩余的汽油必须能够供整个车队从B处返回驻地，即2(14-x)5x ，才能向其它三辆巡逻车供油；另外其它三辆巡逻车要能装得下甲乙两辆巡逻车所供的汽油，从一辆继续前进的巡逻车的载油量考虑，即+(14-x)14 ，由解得2.8x4。由(*)可知，当x取最小值2.8时，y有最大值，ymax=(70-42.8)=1960 千米。 同时易知，当x=2.8时是其它三辆巡逻车刚好能装得下甲乙两辆巡逻车所供的汽油的时候；当x=4时是甲乙两辆巡逻车剩余的汽油只能供整个车队返回驻地的时候。所以B点应该选择在其它三辆巡逻车刚好能装得下甲乙两辆巡逻车所供的汽油的地点。