江苏省宿迁市2013届高三数学一模统测试题苏教版.docx

高三年级摸底调研测试数学数学必做题部分注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第1 题第20 题，共 20 题）本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：样本数据 x1 , x2 , xn 的方差 s21 n(xix) 2 ，其中 x1 nxi .n i 1n i1一、填空题：本题共14 小题，每小题5 分，共70 分 . 请把答案填写在答题卡上1若集合 A1, 0 , 1 ， Bx xm21, mR ，则 AB .2若复数 z 满足 i z13 i ，其中 i 是虚数单位，则z .3某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40 种、 10 种、 30种、 20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20 的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 I 14已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123， a ， 125，若S1WhileS 24其平均成绩是124，则这组数据的方差是 .I I 15如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是S SIEndWhile6已知点 P 在圆 x2y21上运动，则 P 到直线 3x4 y15 0PrintI的距离的最小值为 .第 5 题图7. 过点1,0 与函数 f xex （ e 是自然对数的底数）图象相切的直线方程是 .8连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9 的概率是 .CC19如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长AA1 8 BB1若 侧 面 AA B B 水 平 放 置 时 ， 液 面 恰 好 过 AA111第 9 题图用心爱心专心1AC, BC , A1C1 , B1C1的中点当底面ABC 水平放置时，液面高度为10已知 54cos(55) 的值为,(, ) ，若 sin(),)，则 sin(3665613 .11若数列 an 是各项均为正数的等比数列，则当bnn a1a2an 时，数列 bn也是等比数列；类比上述性质，若数列cn是等差数列，则当dn_ _时，数列dn也是等差数列 .2212已知双曲线xy，A,C分别是双曲线虚轴的上、下端点,B, F分a2b21 a0 , b0别是双曲线的左顶点和左焦点. 若双曲线的离心率为2，则 BA 与 CF 夹角的余弦值为 .13设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 1 a4 4 ， 2 a5 3 ，则 S6 的取值范围是 .14. 已知函数 fxx 1 1 ，若关于 x 的方程 fxmmR 恰有四个互不相等的实数根 x1, x2 , x3 , x4 ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）已知 a , b , c 分别是 ABC 的三个内角 A , B , C 的对边，若向量 m (2bc , cos C) ，n (a , cos A) ，且 m n .(1) 求角 A 的大小；(2) 求函数 y3sin Bsin(C) 的值域 .616. （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中， AC BC , BC BB1, D 为 AB 的中点 .(1)求证： BC1平面 AB1C；C(2)求证： BCA平面 A CD .D11BA1C1B1第 16 题图用心爱心专心217. （本小题满分14 分）小张于年初支出50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起， 每年都比上一年增加支出2 万元，假定该车每年的运输收入均为25 万元 .小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25x 万元（国家规定大货车的报废年限为10 年）(1) 大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2) 在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大 ?（利润 =累计收入 +销售收入 - 总支出）18. （本小题满分 16 分）已知椭圆 C ： x2y 21( a b 0) 的离心率 e6，一条准线方程为 x3 6.a2b 232(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 G, H 为椭圆上的两个动点， O 为坐标原点，且 OG OH .当直线 OG 的倾斜角为 60 时，求GOH 的面积；是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分 16 分）已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，数列 an2 的前 n 项和为 Tn ，且( Sn 2)23Tn 4， n N* .(1) 证明数列 an 是等比数列，并写出通项公式；(2) 若 Sn2Tn0 对 n N * 恒成立，求的最小值；（ 3）若 an,2x an 1, 2 y an 2 成等差数列，求正整数x, y 的值 .用心爱心专心320. （本小题满分16 分）已知函数 f (x)ln x x ， h xln x.x(1) 求 h x 的最大值；(2)若关于 x 的不等式 x f ( x) 2 x2ax12 对一切 x (0 ,) 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)若关于 x 的方程 f (x) x32ex2bx0 恰有一解，其中e 是自然对数的底数，求实数 b 的值 .数学附加题部分注意事项：本试卷共 2 页，均为非选择题（第21 题第23 题）本卷满分为 40 分，考试时间为30分钟， 考试结束后， 请将答题卡交回作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效21.【选做题】 本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选讲（本小题满分10 分）CB如图，已知 AB ， CD 是圆 O 的两条弦，且 AB 是线段 CD 的AB 6 , CD 2D垂直平分线，若5 ，求线段 AC 的长度A( 第 21 A 题图 )B选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分10 分）213，求直线 x 2y3 0 在 M作用下的新直线方已知矩阵 M的一个特征值是1a程C选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xcos是参数），若以xOy 中，已知曲线 C 的参数方程是（ysin1O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程用心爱心专心4D选修 4 5：不等式选讲（本小题满分10 分）已知关于 x 的不等式 ax1axa 1的解集为 R ，求正实数 a 的取值范围【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 ( 本小题满分10 分 )如图，在正四棱锥PABCD 中，已知 PAAB2 ，点 M 为 PA 中点， 求直线 BMP与平面 PAD 所成角的正弦值MDCOAB第 22 题图23 ( 本小题满分10 分 )某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1 9 的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、 3）的获一等奖，奖 1000 元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200 元购物券；其他情形则获参与奖，奖50 元购物券所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖记 X表示一次摇奖获得的购物券金额(1) 求摇奖一次获得一等奖的概率；(2) 求 X 的概率分布列和数学期望用心爱心专心5(2)因 y3 sin B sin( 2B)3 sin BcosB2sin(B6) 12 分536而B2sin(B) 的 域 1,2 14 分6，所以函数 y666AC16（ 1）因 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，所以 CC1平面 ABC ,DB因 AC平面 ABC ，所以 CC1AC ，G又 ACBC ， CC1BC C , 所以 AC平面 B1C1CB ,因 BC1平面 B1C1CB ，所以 BC1AC 4 分A1C1又因 BC BB1 ，所以 BB1C1C 是正方形，所以BC1B1C ，B1又 B1CACC ，所以 BC1 平面 AB1C ，8 分(2) 在正方形 A1C1CA 中， AC1A1CG ， G 为 AC1 中点 , D 为 AB 的中点， DG ,在ABC 1 中， BC1 DG ，12 分因 DG平面 A1 CD ， BC1 平面 A1CD ，所以 BC1平面 A1CD ， 14分17（ 1） 大 到第x 年年底的运 累 收入与 支出的差 y 万元，则 y25 x 6 xx( x1) 50, (0<x 10，xN ) ，用心爱心专心618（ 1）因 c6 ， a 23 6 ， a 2b 2c 2 ，2 分a3c2解得 a3, b3 ，所以 方程 x2y21 4 分93y3xx29（2）由x2y2，解得10，6 分127y29310y3 xx 29由3得2， 8 分x2y 21y23932所以 OG310 , OH6 ，所以 S GOH31510 分55假 存在 足条件的定 ， 的半径 R ， OG OH R GH因 OG2OH2GH2，故111，OG2OH2R2当 OG 与 OH 的斜率均存在 ，不妨 直 OG 方程 ： y kx ，用心爱心专心719（ 1）因 (Sn2)23Tn4，其中 Sn 是数列 an 的前 n 和， Tn 是数列 an2 的前 n 项和，且 an0 ，当 n1 ，由 (a12)23a124 ，解得 a1 1 ，2 分当 n2 ，由 (1a22)23(1a22 )4 ，解得 a21； 4 分2由 (Sn2) 234，知 ( Sn 12)23Tn 14，两式相减得Tn( SS )( SS4)3a 20 ，即 ( SSn4) 3an 10，5 分n 1nn 1nn 1n 1亦即 2Sn 1Sn2 ，从而 2SnSn 12,(n 2) ，再次相减得an 11 an ,( n 2) ，又 a21a1，所以 an 11 , (n 1)22an2所以数列 an 是首 1，公比 1 的等比数列，7 分2其通 公式 an1nN* 8 分2n11nn112n141n（2）由（ 1）可得Sn2 11， Tn4， 10 分1211413214用心爱心专心820（1）因 h xln x , x 0 ，所以 h x1 ln x，2 分xx2由 h ( x)0 ，且x0，得 0xe ，由 h ( x)0 ，且x0e ，4 分， x所以函数 h x的 增区 是(0,e ， 减区 是 e,) ，所以当 xe ， h x取得最大 1 ；6 分e（2）因 xf ( x) 2x2ax12 一切 x(0,) 恒成立，即 xln xx2 2x2ax12 一切 x(0,) 恒成立，亦即 a ln xx12(0,) 恒成立，8 分x 一切 x设 ( x)ln xx12(x)x2x12 ( x3)( x4)，因 x 2x 2，x故 ( x) 在 (0,3 上 减，在 3,) 上 增， ( x) min(3) 7ln 3 ，所以 a 7 ln3 10 分（3）因 方程 f (x)x32ex2bx0恰有一解，即ln x xx32ex2bx0 恰有一解，即ln xx22b1恰有一解，xex1由（ 1）知， h( x) 在xe ， h(x)max，12 分e用心爱心专心9B（ 修 4 2：矩 与 ）21的一个特征 是3，因 矩 Ma1设 f ( )212)(a) 1 0 ，1(a则 (3 2)(3a)10 ，解得 a2215 分，所以 M，12 直 x 2 y 30 上任一点x, y在 M作用下 点 x , y，21xx2xyx 有2y，整理得x2 y，1yyx2 x1 y即33，代人 x2y30 ，整理得 4x5y 90 ,y2 y1 x33故所求直 方程 ：4x 5 y90 10分用心爱心专心10C（ 修 4-4 ：坐 系与参数方程）由ysin1消去 ，得 x2( y1)21 ，xcos曲 C 是以 (0,1) 心，半径等于1 的 5 分所以在极坐 系下，曲 C是以 心，半径等于 1 的 ，)(12所以曲 C 的极坐 方程是2sin 10分D（ 修 4 5：不等式 ）因 ax 1axa a1 , 5 分故原不等式解集 R等价于 a1 1.所以 a 2,或 a 0.又因 a0 ，所以 a 2,所以正 数a 的取 范 2,) 10分23（ 1） “ 一次 得一等 ” 事件A， 号的可能情况有：123， 234， 345，456， 567， 678， 789 共 7 种情况用心爱心专心11用心爱心专心12