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工程数学线性代数复习参考资料线性代数的复习尤其要求详细阅读人手一册的综合练习题授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）第一章 行列式一、全排列及其逆序数（理解）1、把n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也称排列）2、对于n个不同元素，先规定元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。例题 求排列32514的逆序数解 3的逆序数为0；2的逆序数为1；5的逆序数为0；1的逆序数为3；4的逆序数为1；于是这个排列的逆序数为二、n阶行列式的定义（理解）定义 设有个数，排成n行n列的数表， a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如 （1）的项，其中为自然数的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如（1）式的项共有n！项，所有这n！项的代数和 称为n阶行列式，记作，简记为，数称为行列式的元素。元素的第一个下标称为行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列，三、行列式的性质（掌握）记，行列式DT称为行列式D的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。第行（或列）乘以k，记作（或）推论 行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。第行（或列）提出公因子k，记作（或）。性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，则D等于下列两个行列式之和：性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。以数k乘第列加到第列上，记作；以数k乘第行加到第行上，记作；l 计算行列式常用的一种方法就是利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。P16例7、8。（可以证明，对于上三角行列式D有：当然，把任意行列式化根据以上性质为上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展开（掌握）设在n阶行列式中，把所在的第行和第列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作；记 ，叫做元素的代数余子式。引理 一个n阶行列式，如果其中第行的元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 定理 行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即，或 。五、四阶行列式的计算（重点掌握）例1 计算行列式解：例2 计算行列式解：五、克拉默法则（注意，计算量比较大）设有n个未知数、的n个线性方程的方程组 （1）克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数笔列式不等于零，即那么，方程组（1）有唯一解 ，。其中是把第数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念（理解）1、由个数组成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称矩阵，记作也常记作。 这个数称为矩阵A的元素，简称元，数称为元。 以数为元的矩阵可简记作（）或。2、行数和列数都等于n的矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶方阵A也记作。3、只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。4、两个矩阵的行数相等，就称它们是同型矩阵，如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作5、元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意不同型的零矩阵是不同的。6、单位矩阵 简记作E，即7、对角矩阵 简记作 即二、矩阵的运算与性质（掌握）1、矩阵的加法设有两个矩阵、，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为注意： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：设A、B、C都是m×n矩阵，则（1）；（2）（3）设设矩阵，记A称为矩阵A的负矩阵。2、数与矩阵相乘数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为数乘矩阵满足下列运算规律：设A、B、为m×n矩阵，、为数，则（1）；（2）；（3）。3、矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵,其中 并把此乘积记作 C = AB必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：（1）（2）（其中为数）（3）（重要）例1 已知矩阵，求AB。解： 4、方阵的行列式、伴随矩阵定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式。记作。行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为方阵A的伴随矩阵，记为。5、逆矩阵定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。定理 若，则矩阵A可逆，且。重要例题 P56-57例10方阵的逆矩阵满足下述运算规律：1）若A可逆，则亦可逆，且。2）若A可逆，数则A可逆，且。3）若A，B为同阶矩阵，且均可逆，则AB亦可逆，且。例题：设n阶方阵A满足A2A2E = 0，证明：AE是可逆矩阵，并求AE的逆矩阵。证明：由A2A2E = 0得 A2A = 2E A（AE）= 2EAE是可逆矩阵且 。 复习说明大家重点要掌握的是第一、二章的关于行列式、矩阵的各种计算，必须非常熟练、坚定不移地掌握！第三章略为次要一些，试题比重不会太大，第四章一般只考一些基本的概念、定理、推论，这两章建议大家按综合练习的题型进行复习即可。综合练习还是看通信工程专业线性代数综合练习题与答案那本，题型较为全面，比较保险。比较重要的题目有：第一大题的1至8；第二大题的1至7；第三大题的1至11；第四大题的1、2。