高中数学第一章《算法案例》教案1新人教A版必修3.docx

1.3 算法案例第一、二课时辗转相除法与更相减损术（ 1）教学目标（ a）知识与技能1. 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2. 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。（ b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。（ c）情态与价值1. 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。2. 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。（ 2）教学重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。（ 3）学法与教学用具学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序 。教学用具：电脑，计算器，图形计算器（ 4）教学设想（一）创设情景，揭示课题1. 教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18 与 30的公约数吗？2. 接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251 与 6105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。（二）研探新知1. 辗转相除法例 1 求两个正数8251 和 6105 的最大公约数。（分析： 8251 与 6105 两数都比较大， 而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解： 8251 6105 1 2146显然 8251 的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105 与 2146 的公约数也必是8251的约数，所以8251 与 6105 的最大公约数也是6105 与 2146 的最大公约数。6105 21462 18132146 18131 3331813 333 5 148333148 23714837 401则 37 为 8251 与 6105 的最大公 数。以上我 求最大公 数的方法就是 相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300 年左右首先提出的。利用 相除法求最大公 数的步 如下：第一步：用 大的数m除以 小的数 n 得到一个商 q和一个余数r ；00第二步：若 r 0 0， n 为 m， n 的最大公 数；若r 0 0， 用除数 n 除以余数 r 0 得到一个商 q1 和一个余 数 r 1；第三步：若 r10， r为 m，n 的最大公 数；若r 0， 用除数 r0除以余数 r得到111一个商 q和一个余数 r；22依 次 算直至 r n 0，此 所得到的 r n 1 即 所求的最大公 数。 ：利用 相除法求两数4081 与 20723 的最大公 数（答案：53）2. 更相减 我国早期也有解决求最大公 数 的算法，就是更相减 。更相减 求最大公 数的步 如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减 ，求其等也，以等数 之。翻 出来 ：第一步：任意 出两个正数；判断它 是否都是偶数。若是，用2 ；若不是， 行第二步。第二步：以 大的数减去 小的数，接着把 小的数与所得的差比 ，并以大数减小数。 个操作，直到所得的数相等 止， 个数（等数）就是所求的最大公 数。例 2 用更相减 求98 与 63 的最大公 数 .解：由于 63 不是偶数，把98 和 63 以大数减小数，并 相减，即： 98 63 356335 283528 7287 21217 14147 7所以， 98 与 63 的最大公 数是7。 ：用更相 减 求两个正数84与 72 的最大公 数。 （答案： 12）3. 比 相除法与更相减 的区 （ 1）都是求最大公 数的方法， 算上 相除法以除法 主，更相减 以减法 主， 算次数上 相除法 算次数相 少， 特 当两个数字大小区 大 算次数的区 明 。（ 2）从 果体 形式来看， 相除法体 果是以相除余数 0 得到，而更相减 以减数与差相等而得到4. 相除法与更相减 算的程序框 及程序利用 相除法与更相减 的 算算法，我 可以 出程序框 以及BSAIC 程序来在 算机上 相除法与更相减 求最大公 数，下面由同学 相 框 并相互之 框 与程序的正确性，并在 算机上 自己的 果。（ 1） 相除法的程序框 及程序程序框 ：2开始输入两个正整数 m， nm>n?否是r=m MOD n否r=0?是输出 n结束程序：INPUT “ m=”;mINPUT “ n=”;nIF m<n THEN x=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r< >0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND5. 课堂练习一 . 用辗转相除法求下列各组数的最大x=nn=mm=xn=rm=n公约数，并在自己编写的BASIC 程序中验证。3（ 1）225； 135 （ 2）98； 196 （ 3） 72； 168 （4） 153；119二 . 思考：用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在 BASIC中实现。6. 小结：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。（ 5）评价设计作业： P38 A （1） B（ 2）补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图4