数值分析(研究生)第七章常微分方程的数值解法二.ppt

第七章 常微分方程的数值解法（二）,第四节 线性多步法,第五节 单步法的收敛性与稳定性,第六节 一阶方程组和高阶方程,第七节 边值问题的数值解法,4 线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xi+1).,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式., 基于数值积分的构造法, 亚当姆斯显式公式,Newton 插值余项,/* 显式计算公式 */,局部截断误差为：,例1 k=1 时有,注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , , fik 各项的系数均可查表得到 .,Misprint on p.106, 亚当姆斯隐式公式,小于Bk,较同阶显式稳定, 亚当姆斯预测-校正系统,Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值；,Step 2: 用Adams 显式计算预测值；,Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值.,注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式.,4阶Adams隐式公式的截断误差为,Predicted value pi+1,Modified value mi+1,Corrected value ci+1,Modified final value yi+1,外推技术 /* extrapolation */,5 收敛性和稳定性,一、收敛性,例3 就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性.,解：该问题的精确解为,尤拉公式为,对任意固定的 x = xi = i h ，有,二、 稳定性,例4 考察初值问题 在区间0, 0.5上的解. 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解.,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程,常数，可以是复数,例6 考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式尤拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好.,例7 隐式龙格-库塔法,而显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为,其中2阶方法 的绝对稳定区域为,无条件稳定,6 微分方程组与高阶方程,一、一阶微分方程组,IVP的一般形式为：,前述所有公式皆适用于向量形式.,二、高阶微分方程,化作一阶微分方程组求解.,引入新变量,初值条件为：,7 边值问题的数值解法,2 阶常微分方程边值问题, 打靶法,先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值问题,找出s*使得(s*) = ，即把问题转化为求方程 (s) = 0 的根.,每计算一个(s) 都必须解一个ODE., 有限差分法,将求解区间a, b 等分为N 份，取节点 xi = a + ih (i = 0, , N )，在每一个节点处将 y 和 y 离散化.,