高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理.doc

三角函数恒等变换知识归纳与整理一、 基本公式1、 必须掌握的基本公式（1） 两角和与差的三角函数 同名乘积的和与差 异名乘积的和与差 （2） 二倍角的三角函数 差点等于1 （3） 半角的三角函数 2、 理解记忆的其他公式（1） 积化和差同名相乘用余弦；异名相乘用正弦。留首项，用加法；剩尾项，用减法。（2） 和差化积正弦加减得异名；余弦加减得同名。加法得2倍首项；减法得2倍尾项。 （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） （4） 辅助角公式 其中： 常见的几种特殊辅助角公式： 二、 理解证明1、 两个基本公式的证明的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“”的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。或者：在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。2、 由两角和向差的演变方法：用代替，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。3、 由余弦向正弦的演变方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：，展开即可推导出正弦的两角的和公式。4、 由正弦和余弦推导正切方法：利用：可以推导出正切的两角和与差有的公式。5、 由两角和推导二倍角方法：把换成代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。6、 由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：，把换成，即换成，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。另外：关于正切的另一个半角公式：可以通过：来理解。特别体会其演变过程中的转化思想：分子、分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。7、 由两角的和与差推导积化和差方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。这与完全平方的和与差的加减类似。会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。8、 由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新的角度变换方法：把单角：和转换成两角的和与差：，。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。9、 万能公式的理解方法：利用二倍角公式转换：，然后把分母“1”巧妙利用。，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值得高度关注。，然后上下再同时除以即得。同样利用二倍角公式转化余弦：=再巧妙利用“1”的转化：，上下同时除以即得。对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。10、 辅助角公式的理解方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成：的形式而已。对于来说：要通过换元法来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。 分析思考过程如下：若直接换元：令cos，则怎样用三角函数式表示呢？无法完成换元过程，因此：化不成的形式。若提公因式呢！假如公因式为，则得：，此时令，也无法用三角函数表示出，因而化不成：的形式。所以公因式必然与、同时有联系。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数、放到直角三角形中来思考：若、分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：。这个常数显然与、都有关系。假如公因式是，则化为：此时令（此时在直角三角形中，为邻边，为斜边）所以：（此时在直角三角形中，为对边，为斜边）于是化为：根据两角和的正弦公式得：=在直角三角形中：（对边：邻边）当然：若令，则则于是化为：=所以：=此时：（对边：邻边）在此推导过程中，千万注意：两种演变中的是不同的（实质上这两个角互余）。不然就会产生以下错觉：。如果注意到两个角互余，那么就会得到：下面来分析这个结论：右边由诱导公式得：左边所以结论成立。三、 实际运用1、 给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。（1）求、的值方法1：直接用半角公式可求得：=方法2：由两角的差求得：=同理可得：=方法3：用60°与45°的差角求得=同理可得：=方法4：利用直角三角形作图计算15°D30°CBA如图：直角三角形ABC中，A=30°，C=90°。延长CA到D，使AD=AB。则易知：D=15°设BC=1，则AB=2，AC=；CD=2+ =同理可求得cos15°=方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：利用诱导公式我们知道：°的值，然后利用倍角公式可求得°的值，再利用诱导公式就可以求出°的值。°=，°=同理可得：°=，°=（2）求+的值方法1：分别求出的值： 和 的值：二者相加得：+=方法2：直接利用辅助角公式计算：+方法3：巧妙利用公式：和倍角公式+=方法4：运用向量计算：将+写成：+这样可以看成两个向量的数量积。如图：在单位圆内，设向量，向量。则向量和之间的夹角为45°15°=30°。由向量数量积公式得：+=ABO（3）求的值分析：方法1：直接求的值有些困难。（当然用半角可求）；可考虑能否巧妙转化。考虑到常数“1”的转化。=1，原式可化为：方法2：代入得：原式=方法3：直接代入：得：方法4：代入并化简得：原式=（4）求的值分析：方法1：sin30°是特殊角，关键是求sin15°sin75°的值。若用积化和差来计算，则有些复杂。可考虑把sin75°转化为cos15°，然后利用倍角公式求得：=方法2：直接用积化和差计算：原式=（5）求的值分析：方法1：利用余弦的倍角公式化简：，则原式=+ 再利用知差化积与积化和差的公式得：方法2：利用规律：来分析。（6）求的值分析：方法1：把常数换为特殊的三角函数，则原式=2、 给值求值（1） 在ABC中，已知，求的值。 分析：在三角形ABC中，C=180°=（2） 已知，求的值分析：用完全平方公式和平方关系、及倍角公式求值： 即：由倍角公式得：（3） 已知，求的值分析：由倍角公式求值：=（4） 已知，求的值分析：对于求值的代数式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦与余弦的比值，再利用和角公式展开得：即： 所以即： 而，=3、 给值求角（1） 已知ABC中，求角 分析： =4、 证明（1） 已知、是三角形ABC的三个内角。求证： 分析：使用诱导公式证明：证明： 即：同理：即：（2） 已知，。求证：分析：先利用二元一次方程的思想分别求出和的式子，再利用倍角公式分析：证明：，由倍角公式得：（sin2）故：即：（3） 已知，求证：分析：同时展开和然后对比思考：证明：=（4） 在直角三角形ABC中，C为直角，、分别是A、B、C的对边。求证：分析：显然两边要平方，平方后再利用倍角公式转换 2。，而。只需要证明：cos即可。证明：在RtABC中，由倍角公式得：=即： （5） 已知A、B、C是非直角三角形的三个内角。求证： 分析：用化切为弦的思想分析： 证明：=而：而：=即：（6） 已知A、B、C是三角形的三个内角。求证：分析：使用诱导公式、积化和差与和差化积公式证明：证明：=而：=而：sin（7） 已知，求证：分析：对欲证的式了转化为弦来分析：再展开得：证明：对已知条件作如下变形： 即：移项得：即：两边同时除以：得： （8） 已知，且，求证：证明：由得： 展开得：移项得：即：5、 化简（1） 化简：分析：巧妙利用常数“1”及倍角公式凑成完全平方式来化简：=（2） 化简：分析：方法1：首先考虑“化弦”：即把正切化成正弦与余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化简。=此题解法巧妙：先化切为弦，然后通分。最后向倍角公式靠拢，利用和角公式转化。方法2：把常数转化为三角函数，观察括号内的形式，利用正切的和角公式化简：=（3） 化简：分析：用正切的两角和公式化简：（4） 化简：分析：利用平方关系和倒数关系求解： tan54°=原式=（5） 化简：分析：方法1：将变形为：代入原式得：，同时约去得：方法2：同时除以tan()得：=（6） 化简：分析：利用倍角公式化简得：=（7） 化简：分析：通分后，利用倍角公式化简：=6、 证明不等式（1） 若，求证： 目前还无思路：7、 推导新公式（1）请推导出三倍角公式：和思路：=8、 与方程的综合（1） 设和是方程的两个根。 求的值 求证：分析：由韦达定理可得：，代入正切的两角和公式得： 即：9、 与函数的综合（1） 求函数的值域分析：利用倍角公式得：的值域为 函数的值域为（2） 已知函数，。问： 函数的最小正周期是什么？ 函数在什么区间上是增函数？ 函数的图象可以由函数，的图象经过怎样的变换得到？分析：可化为：=它的最小正周期：函数的单调递增区间为：即：当，函数是增函数；函数可以看作是函数向左平移个单位，再向上平移2个单位得到的图象。10、 与几何图形的综合（1） 如图，三个相同的正方形相接拼成一个长方形。求证：。ABCD 分析：实质就是求证：tan证明：观图可得： tan又 说明：如果用初中的知识来分析：则可通过相似三角形来证明。即ABDCAD，（三边对应成比例）DBAC（2）如图：在三角形ABC中，ADBC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6。求BAC的度数分析：此题也是利用角度的和来分析，观图可知： tan 又 说明：若用初中知识来解答，则过C作CEAB，利用相似列出比例来解答。计算十分繁杂！（3）如图正方形的边长为1，点P、Q在边BC、CD上。当三角形PQC的周长为2时，求PAQ的大小。ABCDPQ分析：可计算来分析。设QD=，PB=；则CQ=1，CP=1。CQ+CP+PQ=2PQ= 由勾股定理得：整理得：由图可得：，=又，故PAQ=说明：若用初中几何知识来解答，由旋转QAD，使AD和AB边重合。证明两个三角形全等。也很简单。11、 生活中的实际运用（1） 要将半径为的半圆形木料截成矩形截面的木料，怎样截取才能使矩形截面面积最大。分析：显然矩形面积=可化简为：的最大值为1，当时，矩形面积最大，最大值为。（2） 如图，一个圆心为的扇形的半径为，在此扇形上截取一个平行四边形PDCE（点P在圆弧上了，点D在线段OB上，点C、E在线段OA上）。若POA=，请写出平行四边形PCDE的面积与的函数关系式，并求出当为何值时，有最大值，最大值为多少？PDCEOABNH分析：过P点作PHAO，过D作DNAO，显然PH=OH=，ON= 平行四边形的面积即： (0<<)再分析：的最大值：此时当时，有最大值，最大值为：。