湖南高考文科压轴题答案.doc
2010年湖南高考文科20 （本小题满分13分） 给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表n(n=1,2,3, )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. （）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3）（不要求证明）；（）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为bn，求和：.20. 解：（）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将结这个论推广到表n（n3），即表n各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.（）表n第1行是1,3,5，2n-1，其平均数是 由（）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是），于是表n中最后一行的唯一一个数为.所以(k=1,2,3, ,n)，故 21.（本小题满分13分）已知函数, 其中且（）讨论函数的单调性；（）设函数 （e是自然对数的底数），是否存有a，使g(x)在a,-a上是减函数？若存有，求a的取值范围；若不存有，请说明理由.21. （）的定义域为，（1）若-1<a<0,则当0<x<-a时，；当-a <x<1时，；当x>1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减.（2）若a<-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减. （）存有a，使g(x)在a,-a上是减函数.事实上，设，则，再设，则当g(x)在a,-a上单调递减时，h(x)必在a,0上单调递,所以，因为，所以，而，所以，此时，显然有g(x)在a,-a上为减函数，当且仅当在1,-a上为减函数，h(x)在a,1上为减函数,且，由（）知，当a<-2时，在上为减函数 又 不难知道，因，令，则x=a或x=-2,而于是 （1）当a<-2时，若a <x<-2,则，若-2 <x<1,则,因而分别在上单调递增，在上单调递减； （2）当a-2时， ,在上单调递减.综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以， 又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.因此，当时，h(x)在a,1上为减函数，从而由，知 综上所述，存在a，使g(x)在a,-a上是减函数，且a的取值范围为.2011年湖南高考文科21、(2011湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1()求动点P的轨迹C的方程；()过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解答：解：()设动点P的坐标为(x，y)，由题意得，化简得y2=2x+2|x|当x0时，y2=4x；当x0时，y=0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x0)和y=0(x0)()由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的的方程为y=k(x1)由，得k2x2(2k2+4)x+k2=0设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=2+，x1x2=1l1l2，直线l2的斜率为设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1故=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+x3+x4+11+2+1+1+2+4k2+1=8+4(k2+)8+42=16，当且仅当k2=，即k=1时，的最小值为1622、(2011湖南)设函数()讨论函数f(x)的单调性()若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+)，f(x)=1+，令g(x)=x2ax+1，=a24，当2a2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调递增，当a2时，0，g(x)=0的两根都小于零，在(0，+)上，f(x)0，故f(x)在(0，+)上单调递增，当a2时，0，g(x)=0的两根为x1=，x2=，当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0；故f(x)分别在(0，x1)，(x2，+)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减()由(I)知，a2因为f(x1)f(x2)=(x1x2)+a(lnx1lnx2)，所以k=1+a，又由(I)知，x1x2=1于是k=2a，若存在a，使得k=2a，则=1，即lnx1lnx2=x1x2，亦即(*)再由(I)知，函数在(0，+)上单调递增，而x21，所以112ln1=0，这与(*)式矛盾，故不存在a，使得k=2a2012年湖南高考文科21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（）求椭圆E的方程；（）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.【解析】（）由，得.故圆的圆心为点从而可设椭圆的方程为其焦距为，由题设知故椭圆的方程为：（）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得，即同理可得.从而是方程的两个实根，于是且由得解得或由得由得它们满足式，故点的坐标为，或，或，或.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若对一切xR，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.【解析】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.2013年湖南高考文科20.（本小题满分13分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。（）求圆的方程；()设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。【答案】 （） （）【解析】 () 先求圆C关于直线x + y 2 = 0对称的圆D，由题知圆D直径为直线对称.（）由()知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,mR. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.圆C:到直线的距离。.由椭圆的焦半径公式得：.所以当21.（本小题满分13分已知函数f（x）=.（）求f（x）的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）(x1x2)时，x1+x20.【答案】 （）. （）见下。【解析】 () .所以，。（）由()知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(-x)即可。（证毕）2014年湖南高考文科21.如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;(2)过点的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.21.【答案】(1) (2)4来源:学科网ZXXK【解析】解:(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.学科网(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则,因为在直线上,所以,因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得,则直线的方程为,联立直来源:学科网22.已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【答案】(1)详见解析 解:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ,则函数在区间单调递减,在单调递增的. (2) 解:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ,则函数在区间单调递减,在单调递增的. 学科网
