巧用圆锥曲线定义求最值问题.doc
巧用圆锥曲线定义求最值问题在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。下面就列举一些例子加以说明。例1、如图,M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点,若点M到点C(3,1)与点B的距离之和为S,则S的取值范围是( )A、 B、C、 D、分析:此题的得分率很低,用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义,则势如破竹。解法如下:连结MA,由双曲线的第一定义可得: 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止,未免太可惜了!于是笔者进一步引导学生作如下的探究:(1)如果M点在左支上,则点M到点C(3,1)与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?(2)如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点,若点M到点与点B的距离之差为S,则S的最大值是多少?(3)如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点,若点M到点与点B的距离之和为S,则S的取值范围是多少?分析:连结MA,由椭圆的第一定义可得:,当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值,如上图所示。对于抛物线,也有类似的结论,由于较简单,在此就不一一列举了。例2、双曲线(a0,b0)的两个焦点为F1、F2, 若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A、(1,3)B、C、(3,+) D、分析:若能利用双曲线的第一定义,则迅速获解. 解法如下:不妨设|PF2|=m,则|PF1|=2m,故a=m, 由|PF1|+|PF2| F1F2|可得, 故选B.例3、如图,椭圆C的方程为,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为1的直线交椭圆于B点,点P(1,0), 且BPy轴,APB的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.ABPxyO分析:同样, 此题若采用函数观点, 问题(2)将变得复杂化!若能利用双曲线的第一定义,则解答就容解易得多了。简解:(1) 又PAB45,APPB,故APBP3.P(1,0),A(2,0),B(1,3)b=2,将B(1,3)代入椭圆得:得 ,所求椭圆方程为(2)设椭圆C的焦点为F1,F2,则易知F1(0,)F2(0,), 直线的方程为:,因为M在双曲线E上,要双曲线E的实轴最大,只须MF1MF2最大,设F1(0,)关于直线的对称点为(2,2),则直线与直线的交点为所求M, 因为的方程为:, 联立 得M()又=MF1-MF2=MMF22,故,故所求双曲线方程为:练习:已知两点M(-2, 0),N(2, 0),动点P(x, y)在y轴上的射影为H,是2和的等比中项.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程.总之,在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 若能根据题目的实际条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到出奇制胜的效果。总而言之,在教学过程中,不应轻易错过某一细节,如果能够对一些细节问题进行探究反思,就可以提高教学质量,从而提高学生的数学成绩。