等差数列前n项和的性质及应用.ppt.ppt
等差数列前n项和的性质及应用,2018年3月,知识回顾：,1. an为等差数列 . ， an= ， 更一般的，an= ，d= .,an+1- an=d,2an+1=an+2+an,a1+(n-1)d,an=an+b,a、b为常数,am+(n-m)d,2.等差数列前n 项和Sn = = .,复习：,等差数列的前n项和公式,1、通项公式与前n项和的关系：,例1、已知数列a n的前n项和为 ，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,分析：,所以当n 1时，,当n = 1时，,也满足上式。,当n 2时，,新课1,令p + q + r = 2p (p + q)，得r = 0。,等差数列的前n项的最值问题,一、,例题：已知等差数列 的前 n 项和为 ，求使得 最大的序号 n 的值。,分析：,等差数列的前n项的最值问题,1：数列an是等差数列，,（1）从第几项开始有,（2）求此数列前n项和的最大值,练习：,小结：an为等差数列，求Sn的最值。,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,能力提升,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2<0,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,练习1:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,练习2:等差数列 an 中， ，则前n项和取最大值时，n为（ ） A6； B7 ； C6或7； D以上都不对 ；,C,1、数列an是等差数列，,作业,新课2,性质1:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质2:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,0, (m+p),等差数列an前n项和的性质,两等差数列前n项和与通项的关系,性质3:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,B,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,例3.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,10,课堂练习,2.两等差数列an 、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且,练 习,解:,练 习,作业,第46页 课本习题A组 第4,5题,新课3,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,n2d,nd,等差数列an前n项和的性质,性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇= ,性质5: 为等差数列.,an,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,A,例1.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,5,新课4,例3.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,作业 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.,作业 1、已知等差数列25,21,19, 的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,2：已知在等差数列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S10 （3）求使 Sn<0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,新课5,倒序法求和,倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。,倒序法求和,例1.若,，则,的值为 。,【解析】,裂项法求和,所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两,项彼此相消,就可以化简后求和.,一些常用的裂项公式:,裂项相消法,利用数列周期性求和,有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和.关,键之处是寻找周期。,例3：在数列,中，,求,解：由,可得,利用数列周期性求和,而,例4：求和,其它方法求和,合 并 求 和 法,解：设,当n为偶数时，设n=2k，则,而且,练习：求和,裂项法求和,提示：,裂项相消法,
