高考数学易错点点睛与高考突 集合与简易逻辑.doc

专题01 集合与简易逻辑 【2015高考考纲解读】1.考查求几个集合的交、并、补集2.通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力3.“命题及其关系”主要考查四种命题的意义及相互关系4.“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容5.“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定6.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解【难点突破】难点1 集合的运算 1设I是全集，非空集合P、Q满足PQI，若含P、Q的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_；如果推广到三个，即PQRI，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_.(只要求写出一个表达式)2设A=(x，y)|y2-x-1=0，B=(x，y)|4x2+2x-2y+5=0，C=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bN，使得(AB)C=Ø，证明此结论难点2 逻辑在集合中的运用1.已知不等式： |x+3|>|2x|；;2x2+mx-10 若同时满足、的x也满足，求m的取值范围； 若满足的x至少满足、中的一个，求m的取值范围 2集合A=x|x2-ax+a2-19=0，B=x|log2(x2-5x+8)=1，C=x|x2+2x-8=0,求当a取什么实数时，AB Ø和AC=Ø同时成立难点3 集合的工具性 1已知an是等差数列，d为公差且不为零，a1和d均为实数，它的前n项和为Sn，设集合A=(an，)|nN*,B=(x,y)|x2-y2=1，x，yR，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)AB中至多有一个元素； (3)当a10时，一定有ABØ2设M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：f(x)的定义域是-1，1；若x1，x2-1，1，则|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|试问：(1)定义在-1，1上的函数g(x)=x2+3x+2005是否属于集合M?并说明理由；(2)定义在-1，1上的函数h(x)=4sinx+2006是否属于集合M?并说明理由3向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?难点4 真假命题的判断1已知p、q为命题，命题“(p或q)”为假命题，则 ( )A.p真且q真 B.p假且q假C.p，q中至少有一真 D.p，q中至少有一假2已知p：|1-2，q：x2-2x+1-m20(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围难点5 充要条件的应用1设符合命题p的所有元素组成集合A，符合命题q的所有元素组成集合B，已知q的充分不必要条件是p，则集合A、B的关系是 ( )AAB BA BCB A DA=B20<a是函数f(x)=ax2+2(a-1)+3在(-，4)上为减函数的 ( )A.充分但不必要条件B必要但不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件【学科思想与方法】1.集合与常用逻辑用语中的转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种策略将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法由于一个命题与其逆否命题是等价的，所以对于较难判断的命题，可转化为它的逆否命题的判断来解决【例1】已知p：2, q：x22x1m2 0(m>0)若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围实数m的取值范围是9，)【题后反思】解此类题的关键是利用等价命题进行命题的等价转化，例如：如果p是q的充分不必要条件，那么綈p是綈q的必要不充分条件同理，如果p是q的必要不充分条件，那么綈p是綈q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么綈p是綈q的充要条件【变式】已知集合M，Ny|y4x2x1，UR，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是()A. B.C. D【易错点点睛】易错点1 集合的概念与性质 1设全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，则下列关系中正确的是 ( ) A.M=P BPM C.MP DCUP=ø2设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aP，bQ，若P0，2，5，Q=1，2，6，则P+Q中元素的个数是（ ） A9 B8 C7 D6 3(2013模拟题精选)设f(n)=2n+1(nN)，P=l，2，3，4，5，Q=3，4，5，6，7,记=nN|f(n) P，=nN|f(n) 则(CN) (CN)等于 ( ) A0，3 B1，7 C3，4，5 D1，2，6，7 4设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 ( ) A（CIA）B=I B(CIA) (CIB)=I CA(CIB)=ø D(CIA)(CIB)= CIB【特别提醒】 1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题2注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB，则有A=ø或Aø 两种可能，此时应分类讨论【变式探究】 1 全集U=R，集合M=1，2，3，4，集合N=，则M(CUN)等于 ( ) A4 B3，4 C2，3，4 D 1，2，3，42.设M=x|x4a，aR，N=y|y=3x，xR，则 ( )AMN=Ø BM=NC. MN D. MN 3.已知集合A=0，2，3，B=x|x=ab,a、bA且ab，则B的子集的个数是 ( )A4 B8 C16 D15 4.设集合M=(x，y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3)，-y3，若(a，b)M，且对M中的其他元素(c，d)，总有ca，则a=_.易错点 2 集合与不等式1集合A=，B=x|x-b|a，若“a=1”是“ABØ”的充分条件，则b的取值范围是 ( )A-2b<2 B-2<b2C-3b-1 D-2b22(1)设集合A=x|4x-19，xR，B=x|0，xR，则AB=_.3已知f(x)=(xR)在区间-1，1上为增函数(1)求实数a的值所组成的集合A；(2)设关于x的方程f(x)=的两根为x1,x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1,1恒成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【特别提醒】讨论参数a的范围时，对各种情况得出的参数a的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集.【变式探究】1 设x表示不超过x的最大整数，则不等式x2-5x+60的解集为 ( ) A(2，3) B2，3C2，4 D2，4 2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要条件是，则实数m的取值范围是 ( ) A. B.C. D. 3.已知集合A=x|(x-2)x-(3a+1)0, B=x|.(1)当a=2时，求AB；(2)求使BA的实数a的取值范围易错点 3 集合的应用 1是正实数，设S=|f(x)=cos(x+)是奇函数，若对每个实数a,S(a,a+1)的元素不超过2个，且有a使S(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是_.2设函数f(x)=-(xR)，区间M=a,b(a<b)，集合N=y|y=f(x)，xM，则使M=N成立的实数对(a，b)有 ( )A.0个 B1个C.2个 D无数多个【特别提醒】集合与不等式、集合与函数、集合与方程等，都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论，数形结合的思想.【变式探究】1 已知集合A=x|(a2-a)x+1=0，xR，B=x|ax2-x+1=0，xR,若AB=Ø，则a的值为 ( ) A0 B1 C0或1 D0或4 2. 已知关于x的不等式0的解集为M. (1)a=4时，求集合M；易错点4 简易逻辑 1对任意实数a、b、c，给出下列命题：“a=b”是“ac=bc”的充要条件；“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“a>b”是“a2b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件其中真命题的个数是 ( )A1 B2 C3 D42给出下列三个命题若ab-1，则若正整数m和n满足mn，则设P(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切其中假命题的个数为 ( )A0 B1 C2 D33设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是( )A.已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab且cdB.已知a，b，c，d是实数，若a+cb+d，则ab或cdC.若a+cb+d，则a，b，c，d不是实数，且ab，cdD.以上全不对 4已知c>0，设P：函数y=cx在R上单调递减；Q：不等式x+|x-2c|1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围【特别提醒】1在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则反2求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集【变式探究】 1 已知条件P：|x+1|>2，条件q：5x-6>x2，则p是q的 ( )A.充要条件 B充分但不必要条件C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 2 已知命题p：函数log05(x2+2x+a)的值域为R，命题q：函数y=-(5-2a)x是减函数若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) Aa1 Ba<2C1<a<2 Da1或a23.已知在x的不等式0<x2-46x-13a的解集中，有且只有两个整数，求实数a的取值范围 4.已知命题p：方程a2x2+ax-2=0在-1，1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a0，若命题“p或q是假命题，求a的取值范围易错点5 充要条件1 “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件 B充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件2设定义域为R的函数f(x) =，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( ) Ab<0且c>0 Bb>0且c<0 Cb<0且c=0 Db0且c=03若非空集合MN，则aM或aN是a(MN)的 ( )A.充分但不必要条件 B必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4设命题p：关于x的不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命题q：，则命题p是命题g的 ( )A.充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【特别提醒】 (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等 (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质 (4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条依.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性) 【变式探究】 1 设ab、是非零向量，则使a·b=|a|b|成立的一个必要非充分条件是 ( )Aa=b BabCab Da=b(>0)2若条件甲：平面内任一直线平行于平面，条件乙：平面平面，则条件甲是条件乙的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C. 充要条件D既不充分又不必要条件 答案：C 解析：甲乙可以互推。选.3.已知函数f(x)=ax+b(0x<1)，则a+2b>0是f(x)>0在0，1上恒成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【2015高考突破】1设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则集合M的真子集个数为()A13B14C15 D16解析：选C由集合中元素的互异性，可知集合M5,6,7,8，所以集合M的真子集个数为24115.2已知全集为R，集合A，Bx|x26x80，则ARB()Ax|x0 Bx|2x4Cx|0x2或x4 Dx|0x2或x43设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知数列an是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列an是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为()A1 B2C3 D45命题“若x2y20，则xy0”的否命题是()A若x2y20，则x，y中至少有一个不为0B若x2y20，则x，y中至少有一个不为0C若x2y20，则x，y都不为0D若x2y20，则x，y都不为06下列有关命题的说法正确的是()A命题“若xy，则sin xsin y”的逆否命题为真命题B函数f(x)tan x的定义域为x|xk，kZC直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的充要条件D“a2”是“直线yax2与yx1垂直”的必要不充分条件7已知命题p：若(x1)(x2)0，则x1且x2；命题q：23.下列选项中为真命题的是()A綈p B(綈q)pC(綈p)q Dq8已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6C8 D109设aR，则“<0”是“|a|<1”成立的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既非充分也非必要条件10已知命题p：关于x的函数yx23ax4在1，)上是增函数，命题q：关于x的函数y(2a1)x在1，)上是减函数若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.11若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a_.12已知c>0，且c1，设p：函数ycx在R上递减；q：函数f(x)x22cx1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围为_13设Sx|x<1或x>5，Tx|a<x<a8，STR，则a的取值范围是_14已知函数ylg(4x)的定义域为A，集合Bx|x<a，若P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_15给出下列结论：函数ysin 2x的最小正周期为；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是3；命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x20”其中正确结论的序号为_(把正确结论的序号都填上)16给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合给出如下三个结论：集合A4，2,0,2,4为闭集合；集合An|n3k，kZ为闭集合；若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合其中正确结论的序号是_