课题学习最短路径问题.ppt

第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短 路径问题,1,课堂讲解,运用“垂线段最短”解决最短路径问题 运用“两点之间线段最短”解决最短路 径问题,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,如图，要在燃气管道 l上修建一个泵站，分别向A、 B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输 气管线最短？你能解答这个问题吗？,知1导,1,知识点,运用“垂线段最短”解决最短路径问题,【例1】,体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是() A过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且 只有一条 B两点之间，线段最短 C垂线段最短 D两点确定一条直线,C,知1练,如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从 A处引到田地里去，则应从河边 l 的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.,1,（来自典中点）,知2导,2,知识点,运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题,如图13.4-1，牧马人从A地出发，到一条笔直的 河边饮马，然 后到B地.牧马人到河边的什么地方饮 马，可使所走的路径最短？,问 题（一）,知2导,如果把河边l近似地看成一条直线（图13.4-2)， C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转 化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小. 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：,知2导,如图13.4-3,点A, B分别是直线l异侧的两个点， 如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的 距离的和最短？,利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面 的问题，即:连接AB，与直线l相交于一点，根据 “两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.,图13.4-3,知2导,现在，要解决的问题是：点A, B分别是直线l同 侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到 点A、点B的距离的和最短？ 如果我们能把点B移到l的另一侧 B 处，同时 对直线l上的任一点C,都保持CB与C B的长度相等， 就可以把问题转化为“图13. 4-3”的情况，从而 使 新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识，找到 符合条件的点B吗？,知2导,如图13.4-4,作出点B关于l的对称点B，利用轴 对称的性质，可以得 到C B =CB.这样，问题就转化 为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？,知2导,如图13.4-5,在连接A， B两点的线中，线段A B最 短.因此，线段 A B与直线l的交点C的位置即为所求. 为了证明点C的位置即为 所求，我们不妨在直线上另 外任取一点C (图 13.4-5)， 连接 AC ,BC ,BC ，证明 AC+CB<AC +CB.你能完成 这个 证明吗？,1.如图13.4-1，点A，B分别是直线 l 异侧的两个点， 连接AB，与直线 l 相交于点P，根据“两点之间， 线段最短”，可知点P为直线l上到点A、点B的距 离之和最短的点,图13.4-1,知2导,2. 如图13.4-2，点A，B是直线l同侧的两个点，作点 A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA PBPAPBAB.由“两点之间，线段最短” 可知，点P为直线l上到点A、点B的距离之和最短 的点,图13.4-2,知2导,3在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、 平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而 作出最短路径,知2导,某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电 (1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图 13.4-3，那么分支点M在什么地方时总线路 最短？,知2讲,【例2】,图13.4-3,（来自点拨）,知2讲,(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4-4， 那么分支点M在什么地方时总线路最短？,图13.4-4,（来自点拨）,(1)连接AB，与l的交点即 为所求分支点M； (2)作点B关于l的对称点B1， 连接AB1交l于点M，点 M即为分支点,导引：,(1)如图13.4-3，连接AB，与l的交点即为所求分支 点M. (2)如图13.4-4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1 交l于点M，点M即为所求分支点,知2讲,解：,（来自点拨）,图13.4-3,图13.4-4,解决“一线两点”型最短路径问题的方法：当 两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所 求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于 直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点 即为所求作的点,知2讲,知2练,如图，A处是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上的点P处喝水，再游到B处，但要使游泳的路程最短试在图中画出点P的位置,1,（来自点拨）,知2练,（来自典中点）,(2015黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得ACBC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是() A转化思想 B三角形的两边之和大于第三边 C两点之间，线段最短 D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角,2,知2练,（来自典中点）,如图，直线l表示一条河，P，Q两地相距10 km，P，Q两地到l的距离分别为2 km，8 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是(),3,知2练,（来自典中点）,如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是() A(2，0) B(4，0) C(2，0) D(0，0),4,知2讲,(造桥选址问题）如图13. 4-6, A和B两地在一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可 使从A到B的路径AMNB最短？（假 定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直.）,问 题（二）,我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b (图 13.4-7)，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b, 交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面 的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+ NB最小？,知2讲,知2讲,由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+ MN +NB最小.这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的 什么位置时，AM+ NB最小？能否通过图形的变化（轴对称、 平移等），把“图13. 4-7”的情况转化 为“图13.4-3”的情况？ 如图13.4-8,将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到 点N,点A 移动到点A，则AA=MN，AM+NB=AN + NB.这样， 问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，AN + NB最小？,知2讲,如图13.4-9，在连接A，B两点的线中，线段 A B最短.因此线段AB与直线b的交点N的位置即为 所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短 的.,知2讲,为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b 上另外任意取一点 N,过点N作N M a, 垂足为M 连接A M ，A N ， NB,证明AM+ MN + NB< A M + M N + NB,你能完成这个证明吗？,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、 平移等变化把已知问 题转化为容易解决的问题，从 而作出最短路径的选择.,如图13.4-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短,知2讲,【例3】,（来自点拨）,图13.4-5,要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间， 线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段 上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关 于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a， b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最 短路线,知2讲,（来自点拨）,导引：,如图13.4-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于 直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于 点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA P1A，PBP2B，所以先到点A处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走 的总路程最短,知2讲,解：,（来自点拨）,解决“两线一点”型最短路径问题，要作 两次轴对称，从而构造出最短路径,知2讲,知2练,（来自点拨）,1,为庆祝教师节，阳光中学八年级(2)班举行了一次文艺晚会，桌子摆成两条线(如图中的OA，OB，AOB90)，桌子OA上摆满了苹果，桌子OB上摆满了橘子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位C处请你帮助小华设计一条行走路线，使小华所走路程最短(要求：作出路线图，并用字母表示出所走路线),知2练,（来自典中点）,2,茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短,1. 最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小 值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；(3)两点 两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题 2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值,1.请你完成教材P91-P93复习题13T15. 2.补充：请完成典中点剩余部分习题.,必做：,