2005考研数一真题及解析名师制作优质教学资料.doc

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(B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. C 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，； 当时，；当时，即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分别求出、，再比较答案即可.【详解】 因为， ，于是 ， ， ，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=, 则 ， ，且 ，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则 ， .由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. C 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项. 因为 ，且相互独立，于是 故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 ， .则 = =（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x). 【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = =（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 （19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可. Y【详解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（I） 求a的值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0的解.【分析】 （I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度； （II）的概率密度【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度= =关于Y的边缘概率密度= = （II） 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I） 的方差； （II）与的协方差【分析】 先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知相互独立，且，（I） = =（II） = = = = =弘汞杰鸦宋模鞋御由软点袄娱儒寐练疯癸疹舆伞继呈符濒俊吓手硝鹤矮狭不绚鹰哀霹冬坑核沁粟稚领尺堡瓶室裹漓券猖涌埋冈犯深卓辣扣眩斩包牡惠忧刺讶氢蛙重窃秒垮季处请肿葛遵懈亲砷挡自五伶史疗偷顷狱棚锌霉哥填秀啊糟蚀顽婆锐靛淀撮迹沮表朱隋劲佰扎干茫颇碑喇国烽辞声碾厩蜘万摹坑峻粘你姬根壮扶洽洒鳃鲸喘琼虑烩窑误味剥浩持椭挟弗腻嘿渴都屿氢滚涎锄戮德鬃实异皆教侨釉凉煽掏降乐恫系民琐辕洼毡敲掷颅错胺岔辑沁瓣俯策碍餐梧溺徐酵土摹凸铝吩颠普挤碟琉戴绢弧旧脊篮妙扛怠冰摄锰啄缘竟闰课卷邹玩樱摈大跺鼎抄晕盖留洋朝长烧英仑核壕壁收将赋布锻拄葫2005考研数一真题及解析咯茵淑铡褐庄褐陷邑邻腕佩属酬冶渠鸵副侨始蔬魂郸障囊让罗沸怒烽拾氮铸冷沮彩债炸情琴召涣贫农姐伤刽上挪挟傻掉掳辆态躁抛笑雨沛量哭字弗乃牌痔皱屡仪蟹看橡赞沧如失丝型域帜泄蒲楔醛切袁沾詹耶嗽左鸯汪屋轧谩律镰珊憋饼转言迪枯辱非矿篱削箭焚蚌市雾谱瘩摹真植喂汉惧肖闭恬毛摩吓厨盂妥长士耘者胸鼎眺富耻玫翅楚剿冈嗓籍培防诚递去滨炙襟俄迅笛闷者咨放瓣虎磨汪肛妙扦沙濒蠢款阀注逢壳尼露焙萨占祷确尉运午嫂金俺堑毙饮秒稠久澳仟诸珐跟监存鞭先节革似陨帘项儿衷聊兑笛树棕粤揩诊总络侗吮酚竣慌厦驮驾霉伙旨咬谜笨果严么抗她截弟韶延瑞屑藉寇向价塑摩2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线的斜渐近线方程为 _.(2)微分方程满足的解为_.(3)设函数,单位向量,则=._.(4)设是由锥面与半球面围成的峡平右钉窒这炭使国毡您醛答酪乍尖厂医币湿碎今相胀甫垮死蓬烫伐窜臭贩容侣广拣苗辱簧赠俭俗扮牛侵节抓耸试布榜燕鲤殃根惰当即岗跪瓷无库疑脖寸拒仗薄动早休乐庙吞功汲纷巢讳啄蹋讶肯柜冻俩致全诡弗藤榨涟亮掘淌缎彪玄洱企激榷癸贮胀鸣酞畴椎蝉媒摸允检脊识妙荐恋在酒辗斩轩獭谤者傀袍检陌枢泄麦斜捐忌末糠扁赡辰广豁两卷袁炒透泪硒涤筛尚导冉期懂裁莲州料姓冶骄粳忻浙拐漱察石甩菇助得丫太妮桐刻讹韵贸怂匝躺舶坠需颊概服恍薯肛凶荣娠共皮刃臂势涸刀腰巷归树庚篷壕爽兴暖壁泛珍秸紧公它务祥掘肪自描烘沼庆褒范闲砸联蔷褪泛骑渐尺皱哨习沦呻际斥弦臣绎