概率论 二重积分的计算(二).ppt

,3.2 二重积分的计算,二重积分的计算,（一）在直角坐标系中,（累次积分）,或,X-型,Y-型,复习,因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数,的特点,选择不同的坐标系来计算二重,积分是一个重要的问题.,3.2 二重积分的计算,解,二、二重积分在极坐标下的计算,x,y,如果选取以直角坐标系的原点O为极点，,以x轴为极轴，,原点O,x轴,二重积分在极坐标下的计算,用以极点O为中心的一族同心圆,1.利用极坐标系计算二重积分,设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点，,把区域D分成n个小区域，,在极坐标系下，,以及从极点出发的一族射线,在直角坐标系下,在极坐标系下,极坐标系下的面积微元,则,得,故面积微元为,这样二重积分在极坐标系下的表达式为,二重积分在极坐标下的计算,直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式,如何计算极坐标系下的二重积分？,化为二次积分或累次积分来计算,二重积分在极坐标系下的表达式为,二重积分在极坐标下的计算,在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，,同样要解决下面两个问题：,（2）确定积分的上、下限,（1）选择积分次序,化为二次积分或累次积分来计算,二重积分在极坐标下的计算,2.极坐标系下化二重积分为二次积分,(1)若极点O在区域 D 之外,则有,(2) 极点O在区域D的边界线上,则有,D,D,（只研究先对r后对的积分次序）,下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论,型区域,(3) 若极点O在区域D的内部,则有,D,特殊地,D,D:,二重积分在极坐标下的计算,x,或被积函数为f (x2+y2)、,利用极坐标计算二重积分积分特征,利用极坐标常能简化计算.,如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，,等形式，,要点与步骤:,用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算;,(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分.,二重积分在极坐标下的计算,3.极坐标下二重积分计算的基本步骤,(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分., 将 代入被积函数,将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.,将面积元素 dxdy 换为 .,(2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.,(3)计算二次积分.,则,例1 计算,其中,解,故,注：由于 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角坐标计算.,在极坐标系下,二重积分在极坐标下的计算,例2,二重积分在极坐标下的计算,解,例3 计算积分,积分域是圆环，,解,D：,二重积分在极坐标下的计算,(例3.14),例4,二重积分在极坐标下的计算,解,例5 计算二重积分 其中区域D为由x=0及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域.,解,D的边界曲线为x2+y2=2y，,此时D可以表示为,其极坐标表达式,二重积分在极坐标下的计算,解,故,例6,二重积分在极坐标下的计算,解,因为被积函数为偶函数,例7 求广义积分,所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。,(泊松积分,例3.19）,又因为被积函数 的原函数不是初等函数,二重积分在极坐标下的计算,D,令,利用极坐标计算H，,令,利用极坐标计算H，,所以,D,正态分布,当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，,一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，,选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的.,而被积函数中含有 项时,选择坐标系,选择积分次序,二重积分计算过程,通常选择在直角坐标系下计算.,下的计算方法往往比较简便.,二重积分计算方法总结：,化为累次积分,计算累次积分,二重积分可在两种坐标系下计算 .,采用极坐标系,二重积分在极坐标下的计算,由区域的对称性和 函数的奇偶性可得,二重积分在极坐标下的计算,解,例7,1,1,D,解,二重积分在极坐标下的计算,例3.173.18不作要求,例8,二、二重积分在极坐标系中的计算,一、二重积分在直角坐标系中计算,小结,选择积分次序,选择积分限,化为累次积分,作业：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3),下次课内容 3.3 二重积分的应用,二、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算,复习,选择积分次序,选择积分限,化为累次积分,二重积分的计算,（极点O在区域D的外部）,（极点O在区域D的边界上）,（极点O在区域D的内部）,只研究先对r后对的积分次序,D,D,D,