一元二次不等式的参数问题解法举例.doc

一元二次不等式的参数问题解法举例求不等式恒成立的参数的取值范围，是中学数学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点。例1 已知不等式对一切实数恒成立，求参数的取值范围。解：要使对一切实数恒成立，则只需满足：(1)或(2)解(1)得1<<19，解(2)得=1综上所述，实数的取值范围是1<19例2 当取何值时，关于的不等式对任意的恒成立。解：+1=>0原不等式可化为要使上述不等式对任意的恒成立的充要条件是：(1)或(2)(2)显然无解。在(1)中，当+1>0时，有33+4=3(+1)+1>0>0即<时原不等式恒成立。评注：关于的不等式>0对一切实数恒成立的充要条件是或例3 若在区间0,1上恒为正值，求实数的取值范围。解析：此题考查关于的一次函数恒为正值的充要条件。显然，当6+1=0时，>0不成立，所以6+10依一次函数的性质可知，只要或即可解得 1<<故函数对于一切0,1恒有>0的的取值范围是(1，)例4 对任意1,1，函数的值总大于0，求的取值范围。解析：可变形为于是该题就变成：当在1,1内任意取值时，总大于0，求的取值范围。是一次函数，所以在1,1上恒为正，只要解得<1或>3故的取值范围是|<1或>3例5 已知=，集合A=|且A=，其中=|，<0，求实数的取值范围。解析：如果只注意到A为非空集合，就会丢掉A=时的情况，因为当A=时仍满足A=。由和=可得 当A时，由A=知，A中的元素为非负数。解得4 当A=时，即一元二次方程无实根=(2)4<0解得0<<4综合得实数的取值范围是>0。例6 设集合A=|，B=|，其中>0，若BA，求、的取值范围。解析：A=|=|(+1)(2)>0B=|<2或>3若=0，则A=|，不可能有BA；若<0，则由(+1)(2)>0得<0。当时，A=|；当=0时A=；当时，A=|。此时都不可能有BA。若>0，则A=。因为BA，所以且，即，0<6综上所述，0<6。练习：1 求 为何值时，关于的不等式的解集是实数集。答案：1<<32 已知A=，且A=，其中=|，>0，求实数的取值范围。答案：>43 已知集合A=，B=|4|<1，且AB，求的取值范围。答案：0<2。