第一讲线段、角的计算与证明问题.docx

第一讲线段、角的计算与证明问题(【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分差不多上基本上一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往确实是开始拉分的中，难题了。 大伙研究今年的北京一模就会发明， 第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，差不多上基本上以线段，角的计算与证明开始的。城乡18 个区县的一模题中，有11 个区第二部分第一道题基本上标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的 7 个区县题那么将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。能够说，线段角问题确实是中考数学有难度题的排头兵。 对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是关于整个做题过程中士气，军心的妨碍。在那个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳, 分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。第一部分真题精讲【例 1】 2017，崇文，一模如图，梯形 ABCD 中， AD BC ， BDCD，BDCAB 的长、【思路分析】线段，角的计形中，利用三角形全等相似, 直等知识点进行考察的。因此这就别好的理解， 同时熟知梯形的辅AB,的是 AD,BC 以及 BDC是等的 AB 也放在条件当中去考察.轻易发明我们将 AB带入到了一个有大量条件的直角三角形当中【解析】90， AD3，BC8 、求算证明差不多基本上放在梯角三角形性质以及勾股定理要求我们对梯形的性质有特助线做法。 这道题中未知的是腰直角三角形 , 因此要把未知做 AE,DF 垂直于 BC,那么特别. 因此有解如下 .作 AEBC 于 E，DFBC 于 FAE DF ，AD BC， 四边形 AEFD 是矩形、EF AD 3，AE DF BDCD，DFBC， DF 是 BDC 的 BC 边上的中线、BDC 90， DF1 BCBF42AE4，BE BFEF 431在 Rt ABE 中， AB2AE2BE2AB421217【例 2】 2017，海淀，一模：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC ， DCB90 ，AC BD 于点 O， DC2, BC 4 ，求 AD 的长 .ADOBC【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系. 求梯形上底 . 关于这种对角线之间或者和其他线段角有特别关系( 例如对角线平分某角) 的题 , 一般思路是将对角线提出来构造一个三角形 . 关于此题来说 , 直截了当将AC向右平移 , 构造一个以D 为直角顶点的直角三角形. 如此就将 AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一, 而另一条线段BC是的 . 因此问题迎刃而解 .ADOBCE【解析】过点 D 作 DE / / AC 交 BC 的延长线于点E . BDEBOC . ACBD 于点 O , BOC 90 . BDE 90 . AD / / BC ，四边形ACED 为平行四边形. AD CE .BDE90 ,DCB90 ， DC2BC CE . DC2, BC 4， CE1. AD1此题还有许多别的解法，例如直截了当利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明 ACD和 DBC相似，从而利用比例关系直截了当求出CD。有兴趣的考生能够多发散思维去研究。【例 3】 2017，东城，一模如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， B 90，AD =2，BC 5 ，E 为 DC 中点， tanC4、3求 AE 的长度AD、EBC【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，确实是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下仿佛直截了当过D做垂线之类的方法不行. 那该怎么样做辅助线呢?答案就隐藏在 E是中点那个条件中 . 在梯形中 , 一腰中点是特别特别的 . 一方面中点本身是多对全等三角形的公共点 , 另一方面中点和其他底, 腰的中点连线确实是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就能够将条件代入 . 比如这道题 , 过中点 E 做 BC的垂线 , 那么这条垂线与AD延长线 ,BC 就构成了两个全等的直角三角形. 同时这两个直角三角形的一个锐角的正切值是差不多给出的.因此得解 .ADMEBFC【解析】过点 E 作 BC 的垂线交于BC 点 F ，交 AD 的延长线于点M .在梯形 ABCD 中， AD BC ， E 是 DC 的中点，MMFC ，DECE在 MDE 和 FCE 中，M MFCDEMCEFDECE MDE FCE . EF ME ，DM CF AD2，BC 5 ， DMCF3.2在 RtFCE 中， tan C4EF ，3CF EFME 2 .2在 RtAME 中， AE22236522【总结】以上三道真题, 基本上在梯形中求线段长度的问题. 这些问题一般基本上要靠做出精妙的辅助线来解决. 辅助线的总体思路确实是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合, 从而达到利用求未知的目的. 一般来说 , 梯形的辅助线要紧有以下5 类 :过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+一矩形平移一腰，分梯形为平行四边形+三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线，转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法确实是梯形内线段问题的一般辅助线做法。关于角度问题，事实上思路也是一样的。 通过做辅助线使得角度通过平行， 全等方式转移到未知量附近。 之前三道例题要紧是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例 4】 2017，延庆，一模如图，在梯形ABCD 中， AB DC ， DB 平分ADC ，过点 A 作 AE BD ，交 CD 的延长线于点 E ，且C2E ，BDC30 ， AD3 ，求 CD 的长、ABECD【思路分析】此题相对比较简单，不需要做辅助线就能够得出结果。然而题目中给的条件基本上此类角度问题的差不多条件。 例如对角线平分某角， 然后有角度之间的关系。 面对这种题目依旧需要将的角度关系理顺。首先依照题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，能够得出 见下图角 C 与角 1，2，3 以及角 E 的关系。因此一系列转化过后， 发明角 C=60 度，即三角形 DBC为 RT三角形。因此得解。【解析】： AE BD 13 ， 2E 123EADC3E 2 EC 2 EADCBCD60梯形 ABCD 是等腰梯形 BC AD 3 2 30 ， BCD 60 DBC 90在 Rt DBC 中， 2 30 ， BC 3 CD 6【例 5】 2017，西城，一模： PA2 ， PB4 ，以 AB为一边作正方形ABCD，使 P、D 两点落在直线AB 的两侧 . 如图，当 APB=45时，求AB及 PD的长；【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。假如线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并可不能太高。然而 一 旦 出 现 在 压 轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB 比较容易，过A 做 BP 垂线，利用等腰直角三角形的性质，将APB分成两个有特别多量的RT。然而求PD时候就特别麻烦了。 PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，因此就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的确实是过P 做 DA延长线的垂线交DA于 F，DF交 PB 于 G。如此一来，得到了PFA AGE等多个 RT。因此与已求出的AB 等量产生了关系，得解。【解析】：如图，作 AE PB于点 E、 APE中， APE=45， PA2 ， AEPA sin APE221 ，2PEPA cos APE221 、2 PB 4 ， BE PB PE 3 、在 Rt ABE中， AEB=90， ABAE 2 BE 210 、DCAGP F EB如图，过点P 作 AB 的平行线，与DA的延长线交于F，设 DA的延长线交PB于 G、在 Rt AEG中，可得AGAEAE10 ，cosEAGcos ABE3这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系EG1 ， PG PB BEEG2 、33在 Rt PFG中，可得 PFPGcos FPG PG cos ABE1010， FG、515【总结】由此我们能够看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下基本上要将角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。因此，构建辅助线一般也是从那个思路动身，利用一些特别图形中的特别角关系例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系以及借助特别角的三角函数来达到求解的目的。第二部分发散思考通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。盼望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。【思考 1】如图，在梯形ABCD中， AD BC， ABCD 、假设 AC BD，10 3，且ABC 60，求 CD的长、AD+BC=AD【思路分析】前面我差不多分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，因此自然是先将腰放在某个RT三角形中。 另外遇到对角线垂直这类问题，一般基本上平移某一条对角线以构造更大的一个RT 三角形，因此此题需要两条辅助B线。在这类问题中， 辅助线的方式往往需要交叉运用，假如思想C放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。 解法见后文 【思考 2】如图，梯形ABCD中， AD/BC， B=30， C=60， E， M，F， N 分别是 AB，BC， CD， DA的中点， BC=7， MN=3，求 EF【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。 假设求 EF，因为 BC，因此只需求出 AD即可。 由题目所给角B，角 C 的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。解法见后【思考 3】 ABC ，延长 BC 到 D ，使 CD BC、取 AB 的中点 F ，连结 FD 交 AC 于点 E 、求 AE 的值；ACA假设 AB a ， FB EC ，求 AC 的长、【思路分析】求比例关系，一般基本上要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关FE系 BC=CD，又有 F 中点，因此需要做辅助线，利用这些关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。BDC解法见后【思考 4】如图 3， ABC中， A=90， D 为斜边 BC的中点， E， F 分别为 AB， AC上的点，且 DE DF，假设 BE=3，CF=4，试求 EF 的长、【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好能够构造出两个全等三角形，特别多问题就能够轻松求解。此题中， D为中点，因此大伙能够看看如何在那个里面构造倍长中线。解法见后【思考 5】如图，在四边形ABCD 中， E 为 AB 上一点，ADE 和BCE 基本上等边三角形， AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点分别为P 、 Q 、 M 、 N ，试判断四边形PQMN 为怎么样的四边形，并证明你的结论、DMNCQAP EB【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。此题需要考生对各个特别四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要特别好的感受。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。解法见后第三部分思考题答案思考 1【解析】：作 DE BC于 E，过 D 作 DF AC交 BC延长线于 F、那么四边形 ADFC是平行四边形， AD CF ，DF=AC、四边形 ABCD是等腰梯形， AC=BD、 DFBD又 AC BD， DF AC， BD DF、 BDF是等腰直角三角形 DE1 BF1 (AD BC) 5322在 Rt CDE 中，DCE60 ， DECD sinDCE 53CDsin 60 ， CD10思考 2【解析】：延长 BA， CD交于点 H，连接 HN，因为 B=30， C=60，因此 BHC=90因此 HN=DN直角三角形斜边中线性质 NHD= NDH=60连接 MH，同理可知MHD= C=60。因此 NHD= MHD，即 H，N，M三点共线这一点容易被遗漏，特别多考生会想所以认为他们共线，事实上依旧要证明一下因此 HM=3.5， NH=0.5AN=0.5因此 AD=1EF= 1+7 /2=4思考 3【解析】过点F 作 FM AC ，交 BC 于点 M 、 F 为 AB 的中点 M 为 BC 的中点， FM1AC2由 FM AC ，得CEDMFD ，ECDFMD ， FMD ECD DCEC2DMFM3 EC2 FM21 AC1 AC33231AC AEACECAC13ACACAC2AFEBDMC AB11a ， FBABa22又 FB1aEC ， EC2 EC1 AC ，AC3EC3 a 、32思考 4【解析】：延长 ED至点 G，使 DG=ED，连接 CG， FG、那么 CDG BDE、因此 CG=BE=3， 2=B、因为 B+ 1=90，因此 1+ 2=FCG=90、因为 DF垂直平分EG，因此 FG=EF、在 Rt FCG中，由勾股定理得 FGCG 2 CF 232425 ，因此 EF=5、思考 5A【解析】：E证明：如图，连结AC 、 BD 、F PQ 为ABC 的中位线，1C PQ 1B1D22AC ， PQ2AC 、同理 MN 1AC ，MN1AC 、 G22图 3 MN PQ ， MNPQ ，四边形 PQMN 为平行四边形、 有些同学做到这一步就停了，没有接着发明三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分惋惜在 AEC 和 DEB 中，AEDE ， EC EB ， AED 60CEB ，即AECDEB 、 AEC DEB 、 AC BD 、 PQ1AC1BDPN2 2四边形 PQMN 为菱形、