积的乘方 教学设计.doc

安国中学 八 年级 数学 学案（初稿/定稿）备课组长审阅教研组长审签二次备课记录第十一周 初稿执笔： 参与教师 授课教师 授课时间 授课班级 积的乘方学习目标：1.会实行积的乘方运算，进而会实行混合运算.2.经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.3.通过积的乘方法则的探究及应用，让学生继续体会从特殊到一般的认知规律，从一般到特殊的应用规律.学习重点：积的乘方运算法则及其应用.学习难点：各种运算法则的灵活使用.学习过程：一、自主预习问题一：1、已知一个正方体的棱长为2103cm，你能计算出它的体积是多少吗？列式为：2.讨论：体积应是V=(2103)3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？底数是 ，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是 .所以(2103)3应该理解为 .如何计算呢？二、合作探究问题二： (用4分钟时间解答问题四4个问题，看谁做的快，思维敏捷！)1.读一读，做一做：（1） (ab)2=(ab)(ab)=(aa)(bb)= （2）(ab)3 a( )b( ) （3）(ab)4= = = （4）(ab)n a( )b( ) （其中是正整数）2.总结法则：积的乘方公式：(ab)n （n为正整数）文字语言：.二次备课记录3.如果是三个或三个以上几个数的积的乘方，这个运算性质还适用吗？如：（abc）n . 4.在使用积的乘方运算时，应注意的问题：积的乘方运算对于三个或三个以上几个数的积的乘方运算，即：（abc）n a nbn cn ；在使用积的乘方运算性质时， 要注意结果的符号； 要注意积中的每一项都要实行乘方，不要掉项.三、当堂训练计算：1.（1）（2b）3 （2）（2a3）2 （3）（a）3（4）（3x）4 （5）(-5b)3 （6）(-2x3)42.积的乘方运算性质：（ab）n anbn，把这个公式倒过来应该是： .3.倒过来之后的公式说明的意思是什么？你能用自已的语言说明一下吗？4.试一试 （1） （2）（3） （4）(-)5024(2)2009（5） （6）四、课后作业：配练第十四章练习三课后反思：二次备课记录整式的乘法（1）单项式乘以单项式学习目标： 1.会熟练利用单项式乘单项式的法则实行相关运算；2.通过对单项式法则的应用，培养观察、比较、归纳及运算的水平. 教学重点：单项式与单项式相乘的法则教学难点：计算时注意积的系数、字母及其指数.学习过程：一、自主预习问题一：(用1分钟时间解答下面4个问题，看谁速度快，做的好！)1.同底底数幂的乘法： 幂的乘方： 积的乘方： 二次备课记录同底数幂的除法： 2.判断下列计算是否准确，如有错误加以改正.(1)a3a5a10 ( ) (2)aa2a5a7； () (3)(a3)2a9； ( ) (4)(3ab2)2a46a2b4.( ) 3计算：(1)10102104( )；(2)(2x2y3)2( ). (3) (ab)(ab)3(ab)4( )；4.一个长方形的底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少？请列式： .这是一种什么运算？怎么实行呢？本节我们就来学整式的乘法.二、合作探究问题二：(用2分钟时间解答下面3个问题，看谁做的快，思维敏捷！)1.探究: 4xy3x 如何进行计算？因为：4xy3x4xy3x (43)(xy)y 12x2y.2.仿例计算：(1)3x2y(2xy3) .(2)(5a2b3)(4b2c) .(4)3a22a3 = （）（） . (5)3m22m4 =（）（） . (6)x2y34x3y2 = （）（） . (7)2a2b33a3= （）（） .3. 观察第2题的每个小题的式子有什么特点？由此你能得到的结论是：法则：单项式与单项式相乘， 三、当堂训练(用6分钟时间解答下面6个问题，看谁做的又快又正确！)1.计算（a2）（6ab） ； 4y (-2xy2) (-5a2b)(-3a) ； （2x3）22 ； (-3a2b3)(-2ab3c)3 ； (-3x2y) (-2x)2 .2.归纳总结：(1)通过计算，我们发现单项式乘单项式法则实际分为三点：一是先把各因式的_相乘，作为积的系数；二是把各因式的_ 相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的_，连同它的_作为积的一个因式.二次备课记录(2)单项式相乘的结果仍是 3.推广：(1)计算：3a3b2ab2(5a2b2) = 方法总结：多个单项式相乘，只要把它们的系数相乘作为积的系数，同底数的幂相乘即可. (2)做一做:(2x2y) ( 3xy3) (x2y2z)( 410 3) (3102) (0.25104)4计算 （2） （3） 5.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约7.9103米秒，则卫星运行3102秒所走的路程约是多少?6探究单项式相乘的几何意义 边长是a的正方形的面积是aa，反过来说，aa也可以看作是边长为a的正方形面积. 探讨：3a2a的几何意义探讨：3a5ab的几何意义7判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ）两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）8下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.9计算（1）0.4x2y(xy)2-(-2x)3xy3 （2） 10. 已知单项式与单项式的和是单项式,求这两个单项式的积.11已知与的积与是同类项,求m、n的值.四、课后作业：配练第十四章练习四课后反思：单项式乘以多项式学习目标1在具体情景中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则；2 能熟练、正确地运用法则进行单项式与多项式的乘法运算.3经历探索乘法运算法则的过程，让学生体验从“特殊”到“一般”的分析问题的方法，感受“转化思想”、“数形结合思想”，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.4初步学会从数学角度提出问题 ，运用所学知识解决问题，发展应用意识.通过反思,获得解决问题的经验.发展有条理的思考及语言表达能力.学习重点：在经历法则的探究过程中，深刻理解法则从而熟练地运用法则.学习难点：正确判断单项式与多项式相乘的积的符号.学习过程：一、联系生活 设境激趣问题一：1.在一次绿色环保活动中购买奖品如下表, 品名单价（元）数量笔记本5.2015钢笔3.4015贺卡0.7015有几种算法计算共花了多少钱？ 各种算法之间有什么联系？请列式：方法1: ; 方法2： .联系 2将等式15(5.20+3.40+0.70) =155.20+153.40+150.70 中的数字用字母代替也可得到等式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；问题二：如图长方形操场,计算操场面积？ 方法1: . 方法2： .可得到等式 （乘法分配律）；二、探究学习，获取新知.1等式左右两边有什么特点?2提炼法则： 3符号语言：a(b+c)=ab+ac 或 m（a+b+c）=ma+mb+mc4思想方法：剖析法则m（a+b+c）=ma+mb+mc，得出： 转化单项式 多项式 单项式 单项式 乘法分配律三、理解运用，巩固提高问题三：1.计算： （ab2-2ab） ab (-2a).(2a2-3a+1)2单项式与多项式相乘的步骤：按乘法分配律把乘积写成 ；单项式的乘法运算.3讨论解决：（1）单项式与多项式相乘其依据是 ,运用的数学思想是 .（2）单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数 . （3）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定： 同号相乘得 ，异号相乘得 . 4. 抢答:下列各题的解法是否正确，正确的请打错的请打 ，并说明原因. (1)2a(a2+a+2)=a3+a2+1( ) (2)3a2b(1-ab2c)=-3a3b3( )（3）5x(2x2-y)=10x3-5xy ( ) （4）(-2x).（ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x ( )5计算： (5a22b)（-a2） 四. 题型探索 中考链接问题四：(2011中考题)先化简，再求值.2a3b2(2ab3-1)-(-a2b2)(3a-a2b3)其中a=,b=-3.归纳小结：1用单项式乘多项式法则去括号和单项式乘单项式法则进行计算.2合并同类项化简. 3把已知数代入化简式，计算求值.五、联系现实 升华思维问题五：1. 某长方形足球场的面积为(2x2+500)平方米，长为(2x+10)米和宽为x米，这个足球场的长与宽分别是多少米？ 2x+10 x2x2+5002.你能用几种方法计算下面图形的面积S？五、总结反思，归纳升华知识梳理： 多项式乘以多项式学习目标1理解并经历探索多项式乘以多项式法则的过程. 2熟练应用多项式乘以多项式的法则解决问题3培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力.学习重点：多项式乘以多项式的运算法则与应用.学习难点：多项式乘以多项式法则的得出与理解.学习过程：一、温故知新,导入新课： 计算：（-8a2b）(-3a) 2x(2xy2-3xy)运用的知识与方法： 二、问题情境,探索发现问题一：1.如下图，某地区退耕还林，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米.求这块林区现在的面积S.(比一比看谁的方法多，运算快) 方法1. S= 方法2. S= 方法3. S= 方法4. S= 因为它们表示的都是同一块绿地的面积，按可得到的结论： 按可得到的结论： 2.蕴含的代数、几何意义分别是： 3.归纳概括, 加深理解：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘， 用字母表示为： .三、理解运用 总结方法问题二：1.计算(x+2)(x-3) (3x-1)(2x+1) (x+2)(x+2y-1)四、反馈矫正，注重参与 问题三:(下面的计算是否正确？如有错误，请改正) (3x+1)(x-2) (3x-1)(2x-1) (x+2)(x-5) =3x2-6x-2 =6x2-3x-2x+1 =x2+5x+2x+10 =x2+7x+10归纳多项式与多项式相乘注意事项: 五、综合运用 拓展提高问题4:（中考链接）有一道题计算（2x3)（3x2)6x（x3)5x16的值，其中x666 ，小明把x666错抄成x666，但他的结果也正确，这是为什么?问题5:（联系生活）有一个长方形的长是2x cm,宽比长少4cm,若将长方形的长和宽都增加3cm,面积增加多少? 若x =2 cm,则增加的面积是多少？六、实践运用 巩固新知 1.判断下列各题是否正确,并说出理由 .(1). ( ) (2). ( )(3). ( )2. 选择题:下列计算结果为 x25x6的是（ ）A.（x2)（x3) B. （x6)（x1) C. （x2)（x3) D. （x2)（x3)3.如果ax2bxc（2x1)（x2)，则a = b = c = 4.一个三角形底边长是（5m4n),底边上的高是（2m3n) ，则这个三角形的面积是 5. 王老汉承包的长方形鱼塘，原长 2x 米，宽 x 米，现在要把四周向外扩展 y 米，问这个鱼塘的面积增加多少？7、 总结反思 同底数幂的除法学习目标： 1理解同底数幂的除法运算法则，能灵活运用法则进行计算，并能解决实际问题.2探索推导“同底数幂的除法运算法则”的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学归纳思想，继续培养学生的推理能力和语言、符号的表达能力.学习重点：能灵活运用同底数幂的除法运算法则进行计算 .学习难点：应用同底数幂的除法运算法则解决数学问题.学习过程：一、自主学习，导入新课问题一: (用2分钟时间快速解答下面6个问题，看谁反映的快！)1我们已经知道同底数幂的乘法法则：aman=am+n，那么同底数幂怎么相除呢？2. （1）用你学过的知识完成下面计算.2322=2( ) 103104=10( ) a4a3=a( ) （2）根据上面的计算，由除法和乘法是互为逆运算，你能直接写出下面各题的结果吗？2522；107103；a7a3（a0）3.仿例计算：(用幂的形式填空) ； = ； = .4类比探究：一般地，当m、n为正整数，且mn时， 你还能利用除法的意义来说明这个运算结果吗？观察上面式子左右两端，你发现它们各自有什么样的特点？它们之间有怎样的运算规律？请你概括出来： 5总结法则：同底数幂的除法性质： aman= （m、n为正整数，m>n，a0）文字语言：同底数幂相除，.6（1）3232 =99= （2）3232 =3（ ）（ ）=3（ ）= （3）anan=a（ ）（ ）=a（ ）=1,也就是说，任何不为0的数的 次幂等于1；字母作底数，如果没有特别说明一般不为0.二、合作学习，获取新知问题二: 1、计算（1） （2） （3）（4）x6x = ；（6）(-x)4(-x) = ；三、深入探究 ，活学活用问题三: 1你会计算 (a+b)4(a+b)2吗？2在幂的运算中，如果底数是多项式，法则还适用吗？3做一做 （1）（x y）7 （x y）（2）（ x y）3（x+y）24由aman=am-n可知：am-n=aman ，你会逆用这个公式吗？试一试: 已知3m=5,3n=4,求32m-n的值. 已知已知：5m=3,25n=4，求5m-2n+2的值若3m-2n-2=0,求的立方根 四、理解运用，巩固提高问题四:1下列计算中正确的是（ ）A. B. C. D. 2填空：= ；= 3计算：（1）（2a）5 (2a)3；（2） （a -6）3（a - 6）3 （3）y10n （y4n y2n）； （4）x7 x2 + x（x）4；4（1）xm = 5，xn = 3，求xmn 5有一容积为立方厘米的长方体水池，测得水面的面积为 平方厘米，这个水池的深度是多少？五、总结反思_. 平方差公式学习目标：1能说出平方差公式的特点，并会用式子表示. 2能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算. 3通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想.学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征.学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义.学习过程：一、联系生活,设境激趣问题一：王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，王林马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”王林很得意的告诉她：这是一个秘密.同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.23.8的秘密吗?二.观察概括,探索验证问题二：1经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了.请同学们计算下面三道题: (1)(x3)(x3)； (2) (m5n)(m5n)； (3) (4y)(4y). 2请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？观察发现：两数和乘以这两数的 等于这两数的 用一个数学等式表示为:（ab）（ab） 平方差公式.3.这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢?利用多项式乘以多项式计算: 你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试. 图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算： 具有简洁美的乘法公式:（ab）（ab）a2b2 三、理解运用，巩固提高问题三：1. 填一填:2x+）（2x-）=（ ）2-（ ）2 = (3x+6y)(3x-6y)=( )2-（ ）2= (m3+5)(m3-5)=( )2-（ ）2= 2. 辨一辨: (2x3)(2x3) =2x29 (xy2)(xy2) = x2y2(ab)(a2b) = a2b23.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗? (2a3b)(3b2a) (2a+3b) (2a+3b) (2a3b)(2a3b)(2a3b)(2a+3b) (2a+3b)(2a3b) (2a3b)(3b+2a)4做一做：（1）(a3)( a3) （2）(2a3b)( 2a3b) （3）(12c)( 12c) （4）变式拓展:（2xy）（2xy） (-m+n)(-m-n) (-2x-5y)(5y-2x)5生活实践计算：19982002现在你能揭开小林快速口算出4.23.8的秘密吗? 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?四、实践应用，提高技能问题四： (用4分钟独立完成，看谁又快又准.)1.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（ ）A.（x-y）（x+y） B.（x-y）（y-x） C.（x-y）（-y+x） D.（x-y）（-x+y）2.比一比：（5+6x）(5-6x） （3m-2n）(3m+2n） （ab+8）(ab-8）（2xy）(2xy) （4a0.1）(4a0.1） (m+n)(m-n)+3n2（-x +2）( -x2) （a+b）（a+b）3.请你独立完成课本P30练习，在经历训练中熟练运用公式运算 五、总结反思_.完全平方公式学习目标：1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想. 重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算.难点：对公式的理解， 包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释. 学习过程：一.温故知新,引入新知（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？ （2）口述多项式乘以多项式法则. （3）计算 （2x1）（3x4） （5x3）（5x3） 二.自主学习，探求新知情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块（1） 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2） 第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3） 第三天这（ab）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？自主总结出公式，导入新课： （ab）2a22abb2这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍用面积法检验公式：先观察右图，再用等式表示下图中图形面积的运算. 三.理解运用，提高认识1(ab)2=a2b2对吗?为什么?2仿照公式计算.（1）（xy）2 （2）（x - y）2例1.计算：（2a3b）2；（2）（2a）2 例2.计算：（1）（ab）2；（2）（2x3y）2（3） （4）注意：本例题是两数差的平方，可将（ab）看成是a(b)，就将减法统一成加法，即：，在今后的计算中可直接应用.四.深入探究，活学活用例3.计算： 例4.已知求和的值。例5.已知求的值.五、深入学习，巩固提高1、判断正误：（1）（b-4a）2=b2-16a2（ ） （2）（a+b）2=a2+ab+b2（ ）（3）（4m-n）2=16m2-4mn+n2（ ） （4）（-a-b）2=a2-2ab+b2（ ）2选择题：在下列各式中，计算正确的是（ ）A（2m-n）2=4m2-n2 B(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2C(-a-1)2=-a2-2a-1 D(-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b23. 利用完全平方公式进行简便计算:（1）1022（2）1992 （3）（x2）2（x2）24请你独立完成课本P32练习第1、2、3题.五、总结反思_；因式分解（一）学习目标1了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.2会用提公因式法进行因式分解.3树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力.学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解.学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.学习过程一、温故知新，导入新课问题一：1. 回忆：运用前两节所学的知识填空：（1）2（x3）_；（2）x2（3x）_；（3）m（abc）_.2.探索：你会做下面的填空吗？（1）2x6（ ）（ ）；（2）3x2x3（ ）（ ）；（3）mambmc（ ）2.3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）.4.反思：分解因式的对象是_,结果是_的形式.分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数.二、探究学习，获取新知问题二：1.公因式的概念一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两个不同的代数式表示这块场地的面积. _, _填空：多项式有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式.3x2+x3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ma+mb+mc有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. 多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式.2提公因式法分解因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：mambmcm（abc）3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?（1）4a(a2b)4a28ab；（2）6ax3ax23ax(2x)；（3）a24(a2)(a2)；（4）x23x2x(x3)2（5）36 （6）4.试一试： 用提公因式法分解因式：（1）3x+6=3( ) （2）7x2-21x=7x( )（3）24x3+12x2 -28x=4x( ) （4）-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( )5.公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂.6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.三、理解运用，巩固提高问题三：1.把下列多项式分解因式：（1）-5a2+25a （2）3a2-9ab分析（1）：由公因式的确定方法，我们可以这样确定公因式：定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为（ ）定字母：两项中的相同字母是（ ），故公因式的字母取（ ）；定指数：相同字母a的最低指数为（ ），故a的指数取为（ ）； 所以，-5 a2+25a的公因式为：（ ）2练一练：把下列各式分解因式： (1)ma+mb (2)5y3-20y2 (3)a2x2y-axy2 3把下列各式分解因式：(1)-4kx-8ky (2)-4x+2x2 (3)-8m2 n-2mn 4把下列各式分解因式： (1)a2b-2ab2 +ab (2)3x33x29x (3)-20x2y2-15xy2+25y3 5把下列各式分解因式：(1)-24x3+28x2-12x (2)-4a3b3+6a2b-2ab (3)6a(m-2)+8b(m-2) 6分解因式：（1）a(a+1)+2(a+1) （2）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)（3）4（x-y）3-8x(y-x)2 （4）(1+x)(1-x)-(x-1)四、实践应用，提高技能1下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号） 2若分解因式，则m的值为 .3把下列各式分解因式:8m2n+2mn 12xyz-9xy2 2a（yz）3b(zy)4利用因式分解计算：213.14+623.14+173.14五、总结反思_公式法（第一课时）学习目标：1经历用平方差公式法分解因式的探索