确界原理的证明.docx

精品文档 2数集.确界原理（一）教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难 点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二）教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1 ）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合 A的上确界为 即：x A 有 x ，且0, Xo A,使得 Xo（三）教学建议：（1）此节重点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题.（2）此节难点亦是确界概念和确界原理对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题.一 区间与邻域：区间邻域设a与 是两个实数，且0，称点集 E x| |x a| 为点a的 邻域，记作U （a）称点集 U(a) x | a x a x | a x a 为点a的去心 邻域 记作U 0(a)4vAa的右邻域U(a)x|ax aa的右空心邻域U0(a)x |a xa a的左邻域U(a)x|axaa的左空心邻域u0(a) x | ax a邻域U() x|x|M 邻域 U () x1 xM 邻域 U ()x|xM 二有界数集确界原理：1.有界数集：定义(上、下有界，有界)设S为实数R上的一个数集，若存在一个数M( L )得对一切 x S都有x M (x L)，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称 S为有界集。例如，区间a,b、(a,b) (a,b为有限数)、邻域等都是有界数集，集合Eyysinx, x(,)也是有界数集无界数集若对任意M0 ,存在x S, |x| M，则称S为无界集。例如，(7),(,0), (0,)，有理数集等都是无界数集，例1证明集合 Ey1y -, x x(0,1)是无界数集证明：对任意M 0,存在x1-(0,1) , y E, y M 1 MM 1x由无界集定义，E为无界集。M1确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作 sups ；同样,精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切x S有x ，即 是数集S的上界；（2） 对任意 0,存在x0 S使得X。（即 是S的最小上界），(2)E y(1)n则 supSinf S y sinx, X (0,).则则称数 为数集S的上确界。记作supS精品文档sup E , inf E .注1由确界定义，若数集 S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且inf S supS注2由上面例子可知，数集 S的确界可以属于 S,也可以不属于 So例3设数集S有上确界，证明supSmax S证明（略）定理1.1 （确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下 界，则S必有下确界。S,xn. n1 n2 nk1k10;2 ）存在akS, akn.nm m按上述办法无限作下去，得到实数n. n1 n2nk，可以验证 supS o例4设A和B是非空数集.若对B,都有x y,则有证明不妨设S包含非负数，S有上界存在自然数 n ，使得1)x S,x n 1 ； 2 )存在 a0S , a。n在n,n 1)内作10等分，分点分别为:n.1, n.2, n.9存在自然数 n使得1)x S,1 x n. n1; 2 )存在10S,n.n综上，有inf S min inf A,inf B证x A和yB,都有xy,y是A的上界,而sup A是A的最小上界sup Ay.此式又sup A是B的下界，sup Ainf B（B的最大下界）例5A和B为非空数集，SAB.试证明：inf S mininfA, infB .证x S,有 xA或xB,由infA 和 inf B分别是A和B的下界，有x inf A或 x infB.xmin inf A, inf Bmin inf A, infB是数集S的下界，inf Smininf A, inf B .sup A inf B.即inf S是A的下界，S的下界就是 A的下界，infS是S的下界,又S A,inf Sinf A;同理有inf S inf B.于是有inf S min inf A, inf BXo定义3设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（3）对一切 x S有X ，即 是数集S的下界；（4） 对任意 0,存在Xo S使得Xo（即 是S的最大下界），-：* * 3 4 SXo则称数 为数集S的下确界。记作inf S