与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆.docx

与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。其中，三角形内切圆有一定的特性。在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。对于一般的三角形，内切圆半径公式如下：r=sqrt(p-a)(p-b)(p-c)/p在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt的面积，a, b是Rt的2个直角边，c是斜边）2、r=ab/ (a+b+c)扇形内切圆与扇形AOB的圆弧AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆 .内切圆圆心O在扇形的圆心角AOB的角平分线上,OO=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)过O作OAOA,垂足A,直角三角形OAO中OOA=30,OA=r,OO=R-r,r=(R-r)*sin30,r=1/2(R-r),R=3r内切圆面积=r2,扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6扇形面积=R2/6=(3r)2/6=3r2/2形的内切圆面积与扇形面积的比为r2:(3r2/2)=2:3直角三角形的内切圆的半径二分之一（直角边另一直角边斜边）内切圆的半径为r=2SC，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。内切圆等于外切圆的2分之1与多边形各角都相交的圆叫做多边形的外接圆。三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）圆心到三角形各个顶点的线段相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形），也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）编辑本段作图方法即做三角形三条边的垂直平分线(两条也可，两线相交确定一点）以线段为例，可以看作是三角形一边。分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。例题分析例1 如图1-125，PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值分析由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角解 PC平面ABC 平面PAC平面ABC，交线为AC作BDAC于D点，据面面垂直性质定理，BD平面PAC，作DEPA于E，连BE，据三垂线定理，则BEPA，从而BED是二面角BPAC的平面角设PCa，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形， D是PC = CA=a，PCA=90， PAC45 在RtDEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解例2 在60二面角MaN内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离(图1126)分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面，分别交M、N于AQ、BQ同理，有PBa， PAPB=P， a面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB AQa，BQa AQB是二面角MaN的平面角 AQB60连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有PAQPBQ=90 P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R在PAB中， PA=1，PB=2，BPA180-60=120，由余弦定理得AB214-212cos1207由正弦定理：评注本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=ABa 求(1)二面角BPC D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小分析二面角BPCD的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱解(1) PA平面ABCD，BDAC BDPC(三垂线定理)在平面PBC内，作BEPC，E为垂足，连结DE，得PC平面BED，从而DEPC，即BED是二面角BPCD的平面角在RtPAB中，由PAAB=a PA平面ABCD，BCAB BCPB(三垂线定理)在RtPBC中，在BDE中，根据余弦定理，得 BED120即二面角BPCD的大小为120(2)过P作PQ AB，则PQ平面PAB， ABCD PQCD，PQ平面PCD 平面PAB平面PCD于PQ PAAB，ABPQ PAPQ PA平面ABCD，CDAD CDPD(三垂线定理的逆定理) PQCD PDPQ所以APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角 PAAB=AD，APD=45即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45.评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离内切圆半径是三角形三个角的角平分线的交点到三角边的距离.外接圆半径:公式:a/sinAb/sinBc/sinC2R (R就是外接圆半径) 本题可以这样：先利用余弦定理：a2b2c22bccosA 求出：cosA(b2c2a2)2bc 在利用公式：sinA2cosA21确定 sinA根号(1cosA2) 根号(a2+b2+c2)2-2(a 4+b4+c4)/(2bc) 然后代入 a/sinA2R求出R R2abc/根号(a2+b2+c2)2-2(a 4+b4+c4)直角三角形外接圆半径二分之一斜边内切圆半径:r=2S/(a+b+c)，其中S是三角形面积，a、b、c是三角形三边。另外S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2