16-17版专题限时集训16导数的应用(酌情自选).docx

专题限时集训 (十六 )导数的应用建议 A、B 组各用时： 45 分钟 A 组高考达标 一、选择题四川高考已知a为函数f(x)x3 12x 的极小值点，则 a()1 (2016)A4B.2C.4D.2D 由题意得 f(x) 3x2 12，令 f (x) 0 得 x2，当 x< 2 或 x>2时， f (x)>0；当 2<x<2 时， f(x)<0， f(x) 在( ， 2)上为增函数，在 (2,2)上为减函数，在 (2， )上为增函数f(x)在 x 2 处取得极小值， a2.2(2016 枣庄模拟 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数， f(x)为其导函数，若对于任意实数x，有 f(x)f (x)0，则 ()Aef(2 015)f(2 016)Bef(2 015)f(2 016)C.ef(2 015)f(2 016)Def(2 015)与 f(2 016)大小不能确定f xexf x exf xf x f xA令 g(x) ex ，则 g(x)e2xex，因为 f(x) f(x) 0，所以 g(x)0，所以函数 g(x)在 R 上单调递减，所以 g(2 015)g(2 016)， f 2 015 f 2 016即 e2 015 e2 016 ，所以 ef(2 015) f(2 016)，故选 A.ex23(2016 安庆模拟 )已知函数 f(x)x2k xln x ，若 x 2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为 ()A(， eB.0， eC.(， e)D.0， e)x2ex2xexex2 1x2 x kexA f(x)x4k x2 x x2(x 0)设 g(x) x ，1则 g (x)x 1 exg(x)在内单调递减，在(1， 内单调递增2，则x(0,1)exg(x)在 (0，)上有最小值，为 g(1)e, 结合 g(x) x 与 y k 的图象可知，要满足题意，只需 ke，选 A.4(2016 邯郸一模 )已知函数 f(x)x3ax2bxc 有两个极值点 x1，x2若1.f(x ) x1 x2 ，则关于 x 的方程 3(f(x)2 2af(x)b0 的不同实根个数为 ()A3B.4C.5D.6A f(x)3x22axb，原题等价于方程 3x22ax b0 有两个不等实数根 x1，x2，且 x1x2， x ( ，x1 )时， f (x)0，f(x)单调递增； x(x1，x2)时，f(x) 0， f(x)单调递减； x(x2， )时， f(x)0，f(x)单调递增 x1 为极大值点， x2 为极小值点方程 3(f(x)2 2af(x)b0 有两个不等实根， f(x) x1或 f(x)x2. f(x1)x1，由图知 f(x) x1 有两个不同的解， f(x)x2 仅有一个解故选A.5(2016 合肥二模 )定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f (x)，若对任意的实数 x，都有 2f(x) xf(x) 2 恒成立，则使 x2f(x)f(1)x2 1 成立的实数 x 的取值范围为 ()【导学号： 85952069】A x|x1B.(， 1)(1， )C.(1,1)D.(1,0)(0,1)B 设 g(x) x2f(x)1，则由 f(x)为偶函数得 g(x)x2 f(x)1 为偶函数又因为 g(x)2x f(x)1 x2f(x)x2f(x) xf(x) 2，且 2f(x) xf(x) 2，即 2f(x) xf(x) 2 0，所以当 x 0 时，g(x)x2f(x) xf(x) 20，函数g(x) x2f(x)1单调递减；当 x0 时，g(x)x2f(x) xf(x) 2 0，函数 g(x) x2f(x)1单调递增，则不等式 x2 f(x)f(1) x2 1? x2f(x)x2f(1) 1? g(x) g(1)? |x| 1，解得 x 1 或 x1，故选 B.2二、填空题6(2016 全国丙卷 )已知 f(x)为偶函数，当x<0 时， f(x)ln( x) 3x，则曲线 yf(x)在点 (1， 3)处的切线方程是 _y 2x 1因为 f(x)为偶函数，所以当 x>0 时，f(x)f(x) ln x3x，所以 f(x) 1x 3，则 f(1) 2.所以 yf(x)在点 (1， 3)处的切线方程为 y3 2(x1)，即 y 2x 1.7(2016 长沙一模 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数，其导函数记为f(x)，若对于任意的实数x，有 f(x)f (x)，且 yf(x)1 是奇函数，则不等式f(x)ex 的解集为 _f x(0， )由题意令 g(x) ex ，xf x ex 则 g (x)f x e2xef x f x.xe因为 f(x)f (x)，所以 g(x)0，即 g(x)在 R 上是单调递减函数，因为 y f(x)1 为奇函数，所以f(0) 1 0，即 f(0)1，g(0) 1，则不等式 f(x) ex 等价为f xg(0)，x e1即 g(x)g(0)，解得 x 0，所以不等式的解集为(0， )8(2016 郑州一模 )已知函数 f(x) x33ax(aR)，若直线 xy m0 对任意的 mR 都不是曲线 y f(x)的切线，则 a 的取值范围为 _a13f(x)x3 3ax(aR)，则 f(x) 3x2 3a，若直线 xym0 对任意的 mR 都不是曲线 yf(x)的切线，则直线的斜率为 1，f(x) 3x2 3a 与直线 x y m 0 没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当 x 0 时取最小值， 3a 1，1则 a 的取值范围为 a 3.3三、解答题a9(2016 坊二模潍 )已知函数 f(x) x bln x，曲线 yf(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 yx.(1)求函数 f(x)的单调区间及极值；(2)若 ? x1，f(x)kx 恒成立，求 k 的取值范围解 (1)f(x)的定义域为 (0， )，bxaf (x)x2 ， 2 分故 f(1)ba1，又 f(1) a，点 (1，a)在直线 y x 上，a1，则 b 2.2x1，f(x) 12ln x 且 f (x)x2x当 0 x1时， f(x)0，当 x1时，22f (x)0，故函数 f(x)的单调增区间为1， ，单调减区间为0，1，22f(x)极小值 f122ln 2，无极大值 .6 分2f x2ln x1(2)由题意知， k x xx2(x1)恒成立，2ln x 1令 g(x)x x2 (x1)，22ln x2 2 xxln x1，分则 g (x)2338xxx(x 1)令 h(x)xxln x 1(x 1)，则 h (x) ln x(x1)，当 x1 时， h(x) 0， h(x)在1， )上为减函数，故 h(x)h(1)0，故 g(x) 0，g(x)在 1， )上为减函数，故 g(x)的最大值为 g(1) 1， k1.12 分410 (2016 京高考北 )设函数 f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线 y f(x)在点 (0，f(0)处的切线方程；(2)设 ab4，若函数 f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围；(3)求证： a2 3b>0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件解 (1)由 f(x) x3ax2bx c，得 f (x)3x2 2axb.因为 f(0)c，f(0) b，所以曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线方程为ybx c.2 分32(2)当 ab4 时， f(x) x 4x 4x c，2所以 f (x)3x 8x4.22令 f(x)0，得 3x 8x40，解得 x 2或 x3.f(x)与 f(x)在区间 (， )上的情况如下：x(，2)22， 222， 333f(x)00f(x)cc3227所以，当 c 0且 c320时，存在 x1(4， 2)， x2 2，2， x32732，0，使得1233f(x )f(x )f(x ) 0.由 f(x)的单调性知， 当且仅当 c，32时，函数 f(x)x3 4x2 4xc 有三027个不同零点 .8 分(3)证明：当 4a212b0 时，f(x)3x22axb0，x( ， )，此时函数 f(x)在区间 (， )上单调递增，所以 f(x)不可能有三个不同零点当 4a2 12b0 时， f(x)3x22axb 只有一个零点，记作x0.当 x( ，x0)时， f (x)0，f(x)在区间 ( ，x0)上单调递增；当 x(x0， )时， f (x)0，f(x)在区间 (x0， )上单调递增所以 f(x)不可能有三个不同零点 .10 分综上所述，若函数 f(x)有三个不同零点，则必有 4a212b 0.5故 a23b>0 是 f(x)有三个不同零点的必要条件当 a b 4， c 0 时， a2 3b0，f(x)x3 4x2 4xx(x2)2 只有两个不同零点，所以 a23b>0 不是 f(x)有三个不同零点的充分条件因此 a23b>0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.13 分B 组名校冲刺 一、选择题 1(2016 西赣中南五校联考江 )已知函数yf(x)对任意的x 2，2 满足f(x)cos xf(x)sin x0(其中 f (x)是函数 f(x)的导函数 )，则下列不等式成立的是()A. 2f B. 2f3f 43f4C.f(0)2f 3D.f(0) 2f 4f xA令 g(x) cos x，则g(x)f x cos x f x cos x 2cos xf x cos xf x sin x cos2x，由对任意的 x2，2 满足 f(x)cos xf(x)sin x 0，可得 g (x)0，即函数 g(x)在 2，2上为增函数，则 g 3 g 4 ，f f 34即 cos cos ，34即 2f 3 f4 .故选 A.2(2016 州模拟忻)已知函数 f(x) ax2 bxlnx(a0，b R)，若对任意 x 0， f(x) f(1)，则 ()Aln a 2bB.ln a 2b6C.ln a 2bD.ln a 2b1Af(x)2axbx，由题意可知 f (1) 0，即 2a b 1，由选项可知，只需比较 ln a2b 与 0 的大小，而 b12a，所以只需判断 ln a24a 的符号构造一个新函数 g(x)24xln x，则 g(x)14，令 g(x)0，得 x1，当 xx41114时，g(x)为增函数，当 x4时，g(x)为减函数，所以对任意x0 有 g(x)g 4 1 ln 40，所以有 g(a) 2 4aln a2bln a0? ln a 2b，故选 A.3(2016 圳一模深)已知函数 f(x) ln xax2x 有两个不同零点，则实数 a的取值范围是 ()A(0,1)B.(， 1)C. ，1 eD. ，1 e202eeA 令 g(x) ln x，h(x)ax2x，将问题转化为两个函数图象交点的问题当 a 0 时， g(x)和 h(x)的图象只有一个交点，不满足题意；2x0，得 axln x当 a 0 时，由 ln xax2.x令 r(x)x ln xx2，则112 ln x x 2xr (x)xx4x1x2ln xx3，当 0 x1 时， r (x) 0， r(x)是单调增函数，当 x1 时， r (x) 0， r(x)是单调减函数，且xln x，x200 a 1.a 的取值范围是 (0,1)故选 A.4(2016 南昌模拟 )已知函数 f(x) x(ln xax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ()【导学号： 85952070】7A(， 0)B. 0，12C.(0,1)D.(0， )B f(x)x(ln xax)，f(x) ln x2ax1，由题意可知 f(x)在(0， )上有两个不同的零点，令 f(x)0，则 2a ln x1， xln x 1令 g(x)，x ln x则 g (x) x2 ， g(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1， )上单调递减又当 x0 时， g(x) ，当 x 时， g(x)0，而 g(x)max g(1)1，1只需 02a 1? 0 a 2.二、填空题x12恒成5(2016 皖南八校联考 )已知 x(0,2)，若关于 x 的不等式 ex 2xxk立，则实数 k 的取值范围为 _0，e1) 依题意，知 k2xx2 0，即 k x22x 对任意 x (0,2)恒成立，x12可得 kexexx2 2x，则 f(x)从而 k0，所以由 xxx2 2x.令 f(x)xek2xxexx12(x1) (x1)ex22xx 2 .令 f(x)0，得 x 1，当 x(1,2)时， f(x) 0，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，当 x(0,1)时， f(x)0，函数 f(x)在(0,1)上单调递减，所以 kf(x)min f(1) e1，故实数 k 的取值范围是 0，e1)武汉模拟已知函数满足x1g(0)x12，且存在6 (2016)g(x)g(x)g(1)e2x实数 x0 使得不等式 2m1g(x0)成立，则m的取值范围为_x 1x，当 x 1 时，1， ) g(x)g(1)e g(0)80 1x1 2g(0)1，由 g(0) g (1)e ，解得 g(1) e，所以 g(x)e x2x，则 g(x) ex1x，当 x0 时， g(x) 0，当 x0 时， g(x) 0，所以当 x0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)1，根据题意将不等式转化为 2m 1 g(x)min1，所以 m1.三、解答题7(2016 国甲卷全 )已知函数 f(x) (x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1， )时， f(x)>0，求 a 的取值范围解 (1)f(x)的定义域为 (0， )当 a 4 时， f(x)(x 1)ln x4(x1)，1f(1)0，f (x)ln x x 3， f(1) 2.故曲线 yf(x)在(1， f(1)处的切线方程为2x y20.4 分a x 1(2)当 x(1， )时， f(x)0 等价于 ln x x1 0.a x1设 g(x)ln x x1 ，12ax2 2 1 a x 1则 g (x) x12x x 12， g(1)0.8 分x当 a2，x(1， )时，x22(1a)x1x2 2x10，故 g (x)0，g(x)在 (1， )单调递增，因此 g(x)0；当 a 2 时，令 g(x) 0 得 x1 a 1 a1 2 1， x2 a 1a 1 2 1.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1， x2 )时， g (x)0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)0.综上， a 的取值范围是 ( ，2.12 分四川高考设函数21e，f(x) ax a ln x，g(x) x，其中aRe8 (2016)xe 2.718 为自然对数的底数(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x>1 时， g(x)>0；9(3)确定 a 的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间 (1， )内恒成立12ax2 1解 (1)由题意得 f(x)2axxx(x>0)当 a 0 时， f(x)<0，f(x)在(0， )内单调递减当 a>0 时，由 f(x) 0 有 x 1 ，2a当 x0，1时， f(x)<0，f(x)单调递减；2a当 x1， 时， f(x)>0，f(x)单调递增 .4 分2a(2)证明：令 s(x)ex 1 x，则 s(x)ex 11.x 1当 x>1 时， s(x)>0，所以 e>x，11分从而 g(x) x 1xe>0.8(3)由 (2)知，当 x>1 时， g(x)>0.当 a 0，x>1 时， f(x) a(x21)ln x<0.故当 f(x)>g(x)在区间 (1， )内恒成立时，必有a>0.1 1当 0<a<2时，>1.2a1 ，由(1)有 f<f(1)2a01而 g 2a >0，所以此时 f(x)>g(x)在区间 (1， )内不恒成立 .11 分1当 a 2时，令 h(x)f(x) g(x)(x1)11 1 x1 1 1x32x1 x2 2x1>0.当 x>1 时，h(x) 2ax 2e>x 2x2>2xxxx xx因此， h(x)在区间 (1， )上单调递增又因为 h(1) 0，所以当 x>1 时， h(x)f(x)g(x)>0，即 f(x)>g(x)恒成立1综上， a 2， .14 分1011