浅析初中数学思想与方法.doc

浅析初中数学思想与方法数学思想方法是对数学知识的本质理解，是从某些具体的数学内容和对数学的理解过程中提炼上升的数学观点，他在理解活动中被反复使用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学地提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中数学教材中体现出的基本数学思想、数学方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，只有充分掌握领会，才能用效地应用知识，形成水平。那么，什么是数学思想呢？数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生结果，是对数学事实与理论的本质理解。在初中数学的学习中，要求了解的数学思想主要有：方程函数的思想、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、整体代换的思想、类比的思想、用字母表示数的思想、特殊与一般化思想、同类合并思想等。一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一，在七年级的“整式加减“一章，列代数式及代数式的意义中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的与乙数的差：a-b 二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决很多数学问题的有效思想。数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既实行代数方面的分析，又从几何含义方面实行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。6、“圆”这个章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。三、转化思想 在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，即把“新知识”转化为“旧知识”、把“未知”转化为“已知”、把“复杂”转化为“简单”、把“陌生”转化为“熟悉”、把“抽象”转化为“具体”、把“一般”转化为“特殊”、把“高次”转化为“低次”、把“一个综合问题”转化为“几个基本问题”、把“顺向思维”转化为“逆向思维”等。例如：在一个多边形中，它的内角最多有几个角是锐角？分析：因为任何一个多边形的内角同与其相邻的外角的和是180，所以，若内角为锐角，则其外角必为钝角，就将该问题转化为：求多边形的外角中最多有几个钝角？解：因为多边形的外角和为360，所以多边形的外角中最多有三个钝角，所以，一个多边形中，它的内角最多有三个角是锐角。转化思想是数学的基本思想方法之一，在很多地方都用到了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元一次方程、一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。 3、“圆”这个章中，证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效的考察学生思维的全面性与严密性。要作到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类对象；二是找出科学合理的分类标准，不重不漏。分类讨论思想的优点是具有明显的逻辑性，能很好地训练一个人思维的条理性和概括性。如八年级上的三角形中常有这样的题：已知等腰三角形的周长是16，其中一条边的长为6，求另外两条边的长。解：当腰长为6时，则另一条腰为6，底边为16-6-6=4，故另外两条边的长分别为6、4。当底边为6时，则腰长为（16-6）2=5，故另外两条边的长分别为5、5。有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论来解决的。五、特殊与一般化思想 1、“整式乘除”这一章，首先由特殊数的运算特例中，抽象概括出幂的一般运算性质。例：103 103 =（101010）（1010）=10101010=105 =103 + 2 ，a3 a3 =a3 + 2 ，am an am + n ；乘法公式的推导则是采用一般到特殊的推导过程。2、用字母表示数，体现了由特殊到一般的思想，而求代数式的值则体现了由一般到特殊的思想。 六、类比思想 1、教学不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质，一无一次方和的解法等做类比。 2 通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实数的相反数、绝对值、运算律等知识。 3 在二次根式加减的运算中，指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似。因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 4 “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平分线”，可与线段的相关知识进行类比；度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比。 5 相似多边形的性质和相似三角形的性质类比。6、分式的运算可与分数的运算类比。 七、数式通性 用数的运算所具有的性质，去控索式的同类运算是否也具有这样的性质，如具有，叫数式通性，整式的乘除这一章中，是由数的性质推知式的性质的；由数的加减推知式的加减的。 八、同类合并思想这一思想在“整式的加减”这一章中的具体体现是合并同类项。“根式”这一章中的合并同类根式。 九、函数与方程思想:所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法，方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要，在一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组中，解应用题是方程思想的具体运用，同时，在几何问题中，也常用方程思想来解决问题。方程的思想实现了由小学的算术法向初中代数法的转化，这是数学思想的一个实质性飞跃。如：一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数。 当几何中的证明题和计算题所求的未知量不易直接求出时，可根据题目所给的条件，结合图形，联想到有关定理，选择便于把条件结论、图形和定理、定义结合起来的未知量设为x，从多角度寻求等量关系（图形的位置与定理的关系，已知条件与定理的关系等等）建立方程式或方程组，通过解方程，使问题得以解决。 十、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考察问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷的解决问题的目的，这就是整体思想。:处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.在初中数学的学习中，要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法；要求“理解”或“会运用”的方法有：配方法、因式分解法、换元法、待定系数法、消元法、降次法、图像法、特值法等。1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。在八年级（上）第十四章第三小节因式分解中，要着重训练学生能将一个多项式进行配方。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。它的应用非常广泛，在代数式的求值、分式的运算、根式的化简、解高次方程（组）有十分重要的作用。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。如在计算复杂的多项式乘法及解复杂的分式方程等时，常用此方法来简化运算。 4、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。在八年级上的多项式的因式分解、八年级下的一次函数、反比例函数、九年级的二次函数的解析式的求法经常运用。 5、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 6、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置辅助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。在八年级上第十一章第一小结，学生刚学了三角形的中线、高线时，就有这样一道题：如图，在ABC中，AD是BC边的中线，DE AB,DF AC,其中AB=6,AC=5,DE=2,求DF的长。 8、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 这在八年级上的全等变换、八年级下的特殊四边形的变换、九年级的位似变换有着重要的作用。9、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 （5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。 （6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。其实思想和方法是不能截然分开的，初中数学中用到的各种方法都体现着一定的思想，而数学思想又是对方法的理性认识。因此，通过对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解，是使思想与方法得到交融的有效方法。在数学学习的过程中，一定要全面渗透数学思想与方法，特别是数学思想，是一个逐渐渗透的过程，要在循序渐进的教学过程中结合具体的数学知识或题目让学生去理解，作到螺旋上升。