初中数学中整体思想的应用及解题策略.docx
初中数学中整体思想的应用及解题策略有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方 法，则常常能出奇制胜，简捷解题。整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从 而对问题进行整体处理的解题方法整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体 补形、整体配凑、整体构造等等在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方 面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问 题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用下面就初中数学中整体思想的应用及解 题策略谈一些看法和体会一、整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量 代换，从而达到减少计算量的目的。例 1：已知a +d2 =2007 ，b +d 2 =2008 ，c +d 2=2009，且 abc 24，求a b c 1 1 1 + + - - -bc ca ab a b c的值。解析：由已知解出a、b、c的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：由已知可得：a -b =-1，b -c =-1，c -a =2则原式1abc( a 2 +b 2 +c 2 -bc -ac =ab )=1 1 1 ( a -b ) 2 +(b -c ) 2 +( c -a ) 2 = (1+1 +4) =2abc 48 8二、整体设元整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。例 2：计算： (1-1 1 1 1 1 1 1 - - )( + + + )2 3 2007 2 3 4 20081 1 1 1 1 1 1-(1- - - )( + + + )2 3 2008 2 3 4 2007解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设 1 1 1 1 1 1+ + + =a ，则原式 (1-a )( a + ) -(1-a - ) a2 3 4 2007 2008 2008=a +1 a a 1 -a 2 - -a +a 2 + =2008 2008 2008 2008123 123 1244 3123 123 123 1244 3123 123 123123 1244 3123三、整体变形整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或 减少运算量的目的。例 3：计算：99 9999+199992008个 9 2008个 9 2008个9解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。原式=99 9(999+1)-999+199992008个9 2008个 9 2008个9 2008 个9=99L 9 100 L 0 +100 L 02008个 9 2008个 0 2008个0=100 0(9999+1) 2008个0 2008个9=100 04016个0四、整体补形整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的 图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。例 4：如图，在四边形 ABCD 中， AB =2, CD =1, A =60 ,B =D =90 面积。，求四边形 ABCD 的解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面 积恰是两个图形面积的差。延长AD、BC相交于点E，如图 1在Rt DABE中，A =60 ,AB =2 BE =ABgtan A =2 3在 Rt DCDE 中， CD =1, ECD =180-BCD =60 DE =CD gtan ECD =1tan 60= 3S四边形ABCD=SDABE-SDCDE=1 1AB gBE - CD gDE 2 21 1 3 3= 2 2 3 - 1 3 =2 2 2说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等边三角形或平行四边形，如图 2图 5。五、整体配凑整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质 进行求解，以达到解答问题的目的。例 5：若a +2b +3c =12，且a2 +b 2 +c 2 =ab +bc +ca ，则 a +b 2 +c 2=解析：要求a +b 2 +c 2的值，需求 a 、 b 、 c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到a2 +b 2 +c 2=ab +bc +ca，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出 a 、b 、c 之间的关系，再利用a +2b +3c =12就可以求出a、b、c的值。事实上，由a 2 +b 2 +c 2 =ab +bc +ca，有2 a2 +2b2 +2c 2-2 ab -2bc -2ca =0 ，即 ( a -b)2+(b -c )2+(c -a )2=0 ，故 a -b =c，将之代入a +2b +3c =12有a =b =c =2，故a +b 2 +c 2 =10六、整体构造整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解 答问题。例 6：已知0 <x <12,试求x 2 +4 + (12 -x ) 2 +9的最小值。解析：作出图 6，赋予以上式子如下的几何意义，AC =x 2 +4, CE = (12 -x ) 2 +9，所以求x2+4 + (12 -x )2+9的最小值，即求 CD +CE 的最小值，当D , C , E三点共线时值最小，最小值为DE = 122+(2 +3)2=13。图 6
