2019年辽宁省高三(上)月考数学试卷(含解析).docx

2018-2019 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）10 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1（5 分）集合 A = x | x2-1 >0 ， B = y | y =3x， x R，则 AB =()A ( -,-1)B ( -，-1C (1,+)D 1， +)2（5 分）“x <0 ”是“ ln( x +1) <0 ”的 ( ) A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件3（5 分）已知曲线 y = f ( x ) 在 x =5 处的切线方程是 y =-x+5 ，则 f （5）与 f （5）分别 为 ( )A3，3 B3， -1C -1，3 D0， -14（5 分）在 ABCD 中， AC =( -2,4) ， BD =(2,2) ，则 AB AD =()A1 B2 C3 D4 5（5 分）若 0 <a <1 ， b >c >1 ，则 ( )bA ( ) a <1cBc -a c>b -a bC c a -1 <b a -1D log a <log a c b16（5 分）已知函数 f ( x ) = ，则 y = f ( x ) 的图象大致为 ( )x -lnx -1ABCD7（5 分）已知函数 f ( x ) =3x+x ， g ( x ) =log x +x3， h( x) =sin x +x 的零点依次为 x1， x2，第 1 页（共 22 页）x3，则以下排列正确的是 ( )A x <x <x 1 2 3B x <x <x 1 32C x <x <x 3 12D x <x <x 2 3 18（5 分）欧拉公式 eix=cos x +i sin x (i 为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知， ep6i+ep3i表示的复数的模为 ( )A3 +12B3 -12C6 + 22D6 - 229（5 分）设 m 、 n 是两条不同的直线，a 、 b 确的是 ( )为两个不同的平面，则下列四个命题中不正A m a， n b且 ab，则 m nB m / /a， n b且 ab，则 m / / nC m a， n / / b且 a/ / b，则 m nD m a， n b且 a/ / b，则 m / / np 110（5分）函数 f ( x) =cos(wx + )(w>0) 在 0 ，p 内的值域为 -1, ，则 w 的取值范围是3 2( )3 5 A , 2 32 4 B , 3 32C , +)32 3 D , 3 2m11（5 分）设实数 m >0 ，若对任意的 xe ，不等式 x2 lnx -me x 是 ( )0 恒成立，则 m的最大值A1eBe3C 2eD e12（5 分）设函数 f ( x) =xlnx ， g ( x) =f (x) x，给定下列命题1不等式 g ( x ) >0 的解集为 ( ， +)；e函数 g ( x) 在 (0, e) 单调递增，在 (e, +)单调递减；若 x >x >0 时，总有 1 2m2( x2 -x 2 1 2) > f ( x ) - f ( x ) 恒成立，则 m1 ；1 2若函数 F ( x) = f ( x ) -ax2有两个极值点，则实数 a (0,1) 则正确的命题的个数为 ( )A1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.13（5 分）设函数 f ( x)是定义在 R上的周期为 2 的奇函数，当 0 <x <1 时， f ( x ) =log x2，第 2 页（共 22 页）1 2x x17则 f ( ) + f ( -1) = 414（5 分）已知点 P 是椭圆x2 y 2+ =1(a >b >0) 上的一点， F ， F 分别为椭圆的左、右焦 a 2 b2点，已知 F PF =120 1 2，且 | PF |=3| PF | 1 2，则椭圆的离心率为 15（5分）在 DABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，b tan B +b tan A =-2c tan B ， 且 a =8 ， b +c = 73 ，则 DABC 的面积为 16（5分）已知对满足4 x +4 y +5 =4 xy 的任意正实数 x ，y，都有 x2+2 xy +y2-ax -ay +10 ，则实数 a的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）的值；17（10 分）已知幂函数 f ( x ) =( m -1)2 x m （）求 m2-4m+2在 (0, +)上单调递增，函数 g ( x ) =2 x -k（）当x 1 ，2 时，记 f ( x) ，g ( x) 的值域分别为集合 A ，B ，设命题 p : x A ，命题q : x B ，若命题 p是 q成立的必要条件，求实数 k 的取值范围18（12 分）已知函数 f ( x) =a sinwx -2coswx(w>0) 的最小正周期为p2，当 x =p6时，有最大值 4（）求 a， w 的值；（）若p4<x <3p p 4 x p，且 f ( x + ) = ，求 f ( + ) 的值 4 6 3 2 619（12 分）已知数列 a n满足 a +2 a +2 1 22a +2 3n -1a =n, n N n*（）求数列 a n的通项公式；（）若 b = nlog a2 n +11log a2 n +2，求数列 b n的前 n项和为 Tn20（12 分）设函数 f ( x ) =log (1+a 2 +4 ) ，其中 a2为常数（）当 f （2） = f (-1) +4 ，求 a的值；（）当 x 1 ， +)时，关于 x 的不等式 f ( x)x -1恒成立，求 a 的取值范围21（12 分）如图，在 P 地正西方向 8 km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正北方向的 公路 AC 和 BD ，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 PE和 PF，设 EPA =a(0 <a<p2) （）为减少对周边区域的影响，试确定 E ，F 的位置，使DPAE 与 DPFB 的面积之和最小；第 3 页（共 22 页）（）为节省建设成本，求使 PE +PF 的值最小时 AE 和 BF 的值22（12 分）已知函数 f ( x) =12x 2 -ax +lnx( a R ) （1）若 f ( x) 在定义域上不单调，求 a的取值范围；（2）设 a <e +1e， m， n分别是 f ( x) 的极大值和极小值，且 S =m -n ，求 S 的取值范围第 4 页（共 22 页）2018-2019 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1（5 分）集合 A = x | x2-1 >0 ， B = y | y =3x， x R，则 AB =()A ( -,-1)B ( -，-1C (1,+)D 1， +)【考点】 1E ：交集及其运算【专题】37：集合思想； 4O ：定义法； 5 J ：集合【分析】化简集合 A 、 B ，根据交集的定义写出 A B 【解答】解：集合 A = x | x2-1 >0 = x | x <-1或 x >1 =( -，-1) (1， +)，B = y | y =3 x ， x R= y | y >0 =(0, +)，则 A B =(1,+)故选： C 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2（5 分）“x <0 ”是“ ln( x +1) <0 ”的 ( )A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】11：计算题； 5 L ：简易逻辑【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】解： x <0 ， x +1 <1 ，当 x +1 >0 时， ln( x +1) <0 ；ln( x +1) <0 ， 0 <x +1 <1 ，-1 <x <0 ， x <0 ， “ x <0 ”是 ln( x +1) <0 的必要不充分条件故选： B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键， 比较基础第 5 页（共 22 页）3（5 分）已知曲线 y = f ( x ) 在 x =5 处的切线方程是 y =-x+5 ，则 f （5）与 f （5）分别 为 ( )A3，3 B3， -1C -1，3 D0， -1【考点】62：导数及其几何意义； 6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11：计算题；34：方程思想； 4G ：演绎法；52：导数的概念及应用【分析】利用导数的几何意义得到 f 坐标即 f （5）（5）等于直线的斜率 -1，由切点横坐标为 5，得到纵【解答】解：由题意得 f （5） =-5+5 =0 ， f （5） =-1故选： D 【点评】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题4（5 分）在 ABCD 中， AC =( -2,4) ， BD =(2,2) ，则 AB AD =()A1 B2 C3 D4【考点】 9O ：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；5：高考数学专题； 5 A ：平面向量及应用【分析】直接利用向量的线性运算建立方程组，进一步求出 AB 和 AD 的坐标，最后利用向 量的数量积的应用求出结果【解答】解：在平行四边形 ABCD 中， AC =( -2,4) ， BD =(2,2) ，则： AB +AD =( -2,4) ，AD +AB =(2,2) ，解得： AD =(0,3) ，AB =( -2,1) ，则： AB AD =3 故选： C 【点评】本题考查的知识要点：主要考察向量的线性运算和向量的数量积运算的应用，属于 基础题型5（5 分）若 0 <a <1 ， b >c >1 ，则 ( )第 6 页（共 22 页）bA ( )ca<1Bc -a c>b -a bC ca -1<ba -1D log a <log a c b【考点】 R3 ：不等式的基本性质【专题】 4R ：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】对于 A ， B ， C ，利用不等式的性质即可判断出结论对于 D ，利用对数的运算 性质即可判断出正误【解答】解： 0 <a <1 ， b >c >1 ，b ( )ca>1 ， ab >ac c -a c< ， cb -a ba -1>ba -1，可得 A ， B ， C 不正确对于 D.0 <lgc <lgb ，1 1 lga lga > ，又 lga <0 ， <lgc lgb lgc lgb，可得： log a <log ac b，因此正确故选： D 【点评】本题考查了不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题16（5 分）已知函数 f ( x ) = ，则 y = f ( x ) 的图象大致为 ( )x -lnx -1ABCD【考点】 3 A ：函数的图象与图象的变换； 6 B ：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除 B ， D ，通过函数的单调性排除 C ，推出结 果即可【解答】解：令 g ( x) =x -lnx -1，则 g (x) =1 -1 x -1= ，x x第 7 页（共 22 页）x由 g(x) >0 ，得 x >1 ，即函数 g ( x) 在 (1,+)上单调递增，由 g(x) <0 得 0 <x <1 ，即函数 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递减，所以当 x =1 时，函数 g ( x) 有最小值， g ( x )min=g (0) =0，于是对任意的 x (0 ， 1) (1， +)，有 g ( x)0 ，故排除 B 、 D ，因函数 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递减，则函数 f ( x) 在 (0,1) 上递增，故排除 C ，故选： A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断， 考查分析问题解决问题的能力7（5 分）已知函数 f ( x ) =3 +x ， g ( x ) =log x +x3，则以下排列正确的是 ( )x3， h( x) =sin x +x 的零点依次为 x1， x2，A x <x <x 1 2 3B x <x <x 1 32C x <x <x 3 12D x <x <x 2 3 1【考点】52：函数零点的判定定理【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用 【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【解答】解：函数 f ( x ) =3x+x ，g ( x ) =log x +x3，h( x) =sin x +x 的零点依次为 x1，x2，x3，在坐标系中画出 y =3x， y =log x 3， y =sin x 与 y =-x的图象如图：可知 x <0 1， x >02， x =03，满足 x <x <x 1 3故选： B 2【点评】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题8（5 分）欧拉公式 eix=cos x +i sin x (i 为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义第 8 页（共 22 页）域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知， ep6i+ep3i表示的复数的模为 ( )A3 +12B3 -12C6 + 22D6 - 22【考点】 A5 ：复数的运算【专题】38：对应思想； 4O ：定义法； 5 N ：数系的扩充和复数【分析】 由已知可得 ep6i+ep3i=cosp6+i sinp6+cosp3+i sinp3，整理后利用复数模的公式求解【解答】解：由 eix =cos x +i sin x ，可得ep6i+ep3i=cosp6+i sinp6+cosp3+i sinp3=3 +1 3 +1 + i 2 2 ep6i+ep3i表示的复数的模为6 + 22故选： C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 9（5 分）设 m 、 n 是两条不同的直线，a 、 b 为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是 ( )A m a， n b且 ab，则 m nB m / /a， n b且 ab，则 m / / nC m a， n / / b且 a/ / b，则 m nD m a， n b且 a/ / b，则 m / / n【考点】 LO ：空间中直线与直线之间的位置关系； LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】14：证明题【分析】 本题中四个选项涉及的命题是在线面关系的背景下研究线线位置关系， A ， B 两个选项是在面面垂直的背景下研究线线平行与垂直，C ， D 两个选项是在面面平行的背景下研究线线平行与垂直，分别由面面垂直的性质与面面平行的性质进行判断得出正确 选项【解答】 解： A 选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不 是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为 m / /a ， n b且 a b成立时， m ， n 两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；第 9 页（共 22 页）C 选项中的命题是正确的，因为 m a， a/ /b可得出 m b，再由 n / /b可得出 m n ，故不是正确选项；D 选项中的命题是正确的因为 n b且 a/ /b，可得出 n a ，再由 m a，可得出 m / / n 故不是正确选项故选： B 【点评】本题考查平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中线面，面面位置关系性质熟练掌握，本题是一个易错题，其问法找出“不正确”的选 项，做题时易因为看不到“不”字而出错，认真审题可以避免此类错误p 110（5分）函数 f ( x) =cos(wx + )(w>0) 在 0 ，p 内的值域为 -1, ，则 w 的取值范围是3 2( )3 5 A , 2 32 4 B , 3 32C , +)32 3 D , 3 2【考点】 HW ：三角函数的最值【专题】33：函数思想； 4R ：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】 根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出 p剟wp+p35p3，从而求出 w 的取值范围p【解答】解：函数 f ( x ) =cos(wx + )(w>0) ，31当 x 0 ， p 时， f ( x ) -1， ，2p 1-1剟cos(wx + )3 2，结合余弦函数的性质，则 p剟wp+p 5p3 3，2 4解得 剟w ，3 3 w 的取值范围是 2 4， 3 3故选： B 【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题11（5 分）设实数 m >0 ，若对任意的 xe ，不等式 x2mlnx -me x0 恒成立，则 m的最大值是 ( )第 10 页（共 22 页）A1eBe3C 2eD e【考点】 3R ：函数恒成立问题【专题】33：函数思想；35：转化思想；53：导数的综合应用【分析】对任意的 xe ，不等式 x2mlnx -me x0 恒成立，令 f ( x) =x2mlll ，转化为 f ( x ) me xlll在 xe 时恒成立；即可求解【解答】解：由题意，令 f ( x) =x2lnx ，则 f (x) =2 xlnx +x 在 xe 是恒大于 0 的， f ( x) 在 e ， +)是递增函数，可得为 f ( x) m e2me x在 xe 恒成立即可min= f（e） =e2m实数 m >0 ， g ( x ) =me x 在 e ， +)是递减函数，g ( x )max=g（e） =m eme，即 m eme e2解得： 0 <m e m 的最大值为 e故选： D 【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，导函数的 单调性的应用12（5 分）设函数 f ( x) =xlnx ， g ( x) =f (x) x，给定下列命题1不等式 g ( x ) >0 的解集为 ( ， +)；e函数 g ( x) 在 (0, e) 单调递增，在 (e, +)单调递减；若 x >x >01 2时，总有m2( x2 -x 2 1 2) > f ( x ) - f ( x ) 恒成立，则 m1 ；1 2若函数 F ( x) = f ( x ) -ax2有两个极值点，则实数 a (0,1) 则正确的命题的个数为 ( )A1 B2 C3 D4 【考点】 6B ：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想； 4R ：转化法；53：导数的综合应用第 11 页（共 22 页）21 1 12 2 2【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可 【解答】解： 函数 f ( x) =xlnx ， f (x) =lnx +1 ，则 g ( x ) =lnx +1 lnx ， g (x) =- ，x x 2lnx +1 1对于， g ( x ) >0 即 >0 ， lnx +1 >0 ，即 x > 故正确，x elnx对于， g(x) =- ，当 x (0,1) 时， g (x) >0 ， g ( x ) 递增，故错误，x2对于，若 x >x >01 2m时，总有 ( x 2 -x 21 2) > f ( x ) - f ( x ) 恒成立，1 2m m则 x 2 -x lnx > x 2 -x lnx >0 在 (0, +)恒成立， 2 2m 令 H ( x) = x22-xlnx ， ( x >0) ，m lnx只需 > ( x >0) 恒成立， 2 xm lnx即 >( ) 恒成立， 2 x max令 h( x) =lnx 1 -lnx ( x >0) ，则 h(x) =x x 2，令 h(x) =0 ，解得： x =e，故 h( x ) 在 (0, e) 递增，在 (e, +)递减，故 h ( x) =h max1 （e） = ，e故m 1 2> ， m > ，故 m1 成立， 2 e e对于，若函数 F ( x ) = f ( x ) -ax2有 2 个极值点，则 F (x) = f (x) -2ax 有 2 个零点，即 lnx +1 -2 ax =0 ， 2a =lnx +1x，lnx +1 lnx 令 G ( x) = ，则 G(x) =- ，x x 2G( x) 在 (0,1) 递增，在 (1,+)递减，G （1） =11，即 2a (0,1) ， a (0, ) ，故错误，2综上，只有正确，故选： B 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合 题第 12 页（共 22 页）x2 y 21 21 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.13（5 分）设函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 <x <1 时， f ( x ) =log x2，17则 f ( ) + f ( -1) = 4-2【考点】 3K ：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数即可得出 f ( -1) =0 ，而根据0 <x <1 时，f ( x) =log x2【解答】解：17 1 1即可得出 f ( ) = f ( ) =log =-24 4 2 4f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数； f ( -1) = f ( -1+2) = f（1） =0 ； f f ( -1) =0 ；（1） =-f（1）；又 0 <x <1 时， f ( x ) =log x2；17 1 1 1 f ( ) = f ( +2 2) = f ( ) =log =-2； 4 4 4 2 417 f (4) + f ( -1) =-2故答案为： -2【点评】考查周期函数和奇函数的定义，已知函数求值的方法，对数的运算14（5 分）已知点 P 是椭圆 + =1(a >b >0) 上的一点， F ， F 分别为椭圆的左、右焦a 2 b2点，已知 F PF =120 ，且 | PF |=3| PF | ，则椭圆的离心率为1 2 1 2134【考点】 K 4 ：椭圆的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】画出图形，利用椭圆的定义，以及余弦定理求出 a 率即可， c关系，然后求解椭圆的离心【解答】解：点 P 是椭圆x2 y 2+ =1(a >b >0) 上的一点，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点， a 2 b2已知 F PF =120 1 2，且 | PF |=3| PF | 1 2，如图：设 | PF |=m ，则 | PF |=3m ，2 1第 13 页（共 22 页）则：4 m =2 a 4 c 2 =m 2+9 m2-2 m 3m cos120 ，可得 4c2=13 a 24，解得 e =c 13= a 4故答案为：134【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力15（5分）在 DABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，b tan B +b tan A =-2c tan B ，且 a =8 ， b +c = 73 ，则 DABC 的面积为9 34【考点】 HR ：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】 由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cos A 的值，由余弦定理可求64 =(b +c )2-bc ，利可求 bc ，用三角形面积公式即可得解【解答】解： 在 DABC 中， b tan B +b tan A =-2c tan B ， 由正弦定理可得 sin B (tan A +tan B ) =-2sin C tan B ， sin B (tan A +tan B) =-2sin Csin Bcos B，cos B(tan A +tan B) =-2sin C ， cos B (sin A sin B+ ) =-2sin C ， cos A cos B cos Bsin A cos B +cos A sin Bcos A cos B=-2sin C ，第 14 页（共 22 页） cos Bsin( A +B) sin C= =-2sin C ，cos A cos B cos A1 2p解得 cos A =- ， A = ，2 3a =8 ， b +c = 73 ，由余弦定理可得： 64 =b 2 +c 2 +bc =(b +c ) 2 -bc =73 -bc ， 可得： bc =9 ，1 1 3 9 3DABC 的面积 S = bc sin A = 9 = 2 2 2 4故答案为：9 34【点评】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式， 属于基础题16（5分）已知对满足4 x +4 y +5 =4 xy 的任意正实数 x26的取值范围为a | a则实数 a5，