2019年数学人教A必修模块综合检测.docx

2*2 2 22模块综合检测(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的1在数列a 中，S 2n 3n(nN )，则 a 等于( )n n 4A11C17B15D20解析：选 A.当 n2 时，a S S 4n5，当 n1 时，a S 1，符合，n n n1 1 1所以 a 4n5，n令 n4，得 a 11.42已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，b 7，c 3，B ，那6么 a 等于( )A1C4B2 D1 或 4解析：选 C.在ABC 中，b 7，c 3，cos B3，由余弦定理有 b a c 2accos 2B，即 7a 33a，解得 a4 或 a1(舍去)故 a 的值为 4.3下列命题中，一定正确的是( )1 1A若 a>b 且 > ，则 a>0，b<0a baB若 a>b，b0，则 >1bC 若 a>b 且 ac>bd，则 c>dD 若 a>b 且 ac>bd，则 c>d1 1解析：选 A.A 正确，若 ab>0，则 a>b 与 > 不能同时成立；B 错，如取 a1，b1a ba时，有 1<1；C 错，如 a5，b1，c1，d2 时，有 ac>bd，c<d；D 错，取 a b1，b2，则 a>b，令 c3，d1，有 ac>bd，c<d.xy4，4若变量 x，y 满足约束条件xy2， 则 z2xy 的最大值是( )x0，y0，A2 B446622C7解析：选 C.画出可行域如图(阴影部分)D8xy4，目标函数为 z2xy，由 解得 A(3，1)，xy2当目标函数过 A(3，1)时取得最大值，所以 z 2317.max1 15设 a>0，b>0，若 lg a 和 lg b 的等差中项是 0，则 的最小值是( )a bA1C4解析：选 B.因为 lg a 和 lg b 的等差中项是 0，所以 lg alg b0，即 ab1，又 a>0，b>0，B2D2 21 1所以 2 a b12，ab1 1当且仅当 ab1 时取等号，因此 的最小值是 2.a bS S6已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，若 S 1， 4，则 的值为( )n n 1 S S2 43A.29C.45B.4D4解析：选 C.设公差为 d，则 S 4a 6d，S 2a d，结合 S 4S ，a 1，得 d2，4 1 2 1 4 2 1S 9所以 S 16，S 36，所以 .4 6 S 447当 x0 时，不等式 x mx90 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A(，6) C6，)B(，6 D(6，)9 9解析：选 A.由题意得：当 x0 时，mxx 9，即 mx 恒成立设函数 f(x)x (xx x2*n 1n 1n 12*2 n1n 1n 12 22 2 21222 2 2 2 2222 2C 42n 3n 2133 3 3n 663(n 1)290)，则有 x 2x围是 m6.9 9x 6，当且仅当 x ，即 x3 时，等号成立，则实数 m 的取值范 x x8数列a 满足 a 2，a a (a >0，nN )，则 a ( )n 1 n1 n n nA10n2B10C102D22解析：选 D.因为数列a 满足 a 2，a a (a >0，nN )，所以 log a 2log a ，n 1 n1 n n 2 n1 2 nlog a即 2.log a2 n又 a 2，所以 log a log 21.1 2 1 2故数列log a 是首项为 1，公比为 2 的等比数列2 n所以 log a 2 2 n ，即 a 22 .故选 D. n9在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ABC 的面积为 S，且 4S(ab) c ，则 sin C 等于4( )A1B22C.22D.32a b c解析：选 C.因为 S absin C，cos C ，所以 2Sabsin C，a2 2abb2c2abcosC又 4S(ab) c a b c 2ab，所以 2absin C2abcos C2ab.因为 ab0，所以 sin Ccos C1.因为 sinCcosC1，所以(cos C1) cos C1，解得 cos C1(不合题意，舍去)或 cos C0，所以 sin C1， 2 2则 sin (sin Ccos C) .2 210一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列 有( )A13 项C11 项B12 项D10 项解析：选 B.设该数列的前三项分别为 a ，a q，a q ，后三项分别为 a q1 1 1 1 ，a q1 ，a q1n ，所以前三项之积a q 2，后三项之积 a q 4，两式相乘得 a q 8，即 a q 1 1 1 1n 12n 1n2n 1 n2n 2222.又 a a qa q a q 1 1 1 1 64，所以 a q1n（n1）264，即(a q ) 64 ，即 2 64 ，所以 n 112.11如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测 A，B分别在 D 处的北偏西 15，北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为( )A20 6 海里 C20(1 3) 海里B40 6 海里 D40 海里解析：选 A.连接 AB，由题意可知 CD40，ADC105，BDC45，BCD90， ACD30，所以CAD45，ADB60，AD 40在ACD 中，由正弦定理得 ，sin 30 sin 45所以 AD20 2，在 BCD 中，因为BDC45，BCD90，所以 BD 2CD40 2.在ABD 中，由余弦定理得AB8003 200220 240 2cos 6020 6.12已知不等式 x axa20 的解集为(，x ) (x ，)，其中 x 0x ，则1 2 1 22 2x x 的最大值为( )1 2 x x1 23A.2C2B03D2解析：选 B.因为不等式 x axa20 的解集为(，x ) (x ，)，其中 x 01 2 1x ，2所以 x x a20，x x a.1 2 1 22 2所以 x x (x x ) 1 2 x x 1 21 22（x x ） 1 2x x1 22a2a44 21 x2 21 x2答案：x*nn n 1n 154 4a a a2 (a2) 4；a2 a2 a2 a2又 a20，所以(a2)0，4所以(a2) 2a24（a2） 4， a24当且仅当(a2) ，a2即 a0 时，取“”；4所以(a2) 4440，a22 2即 x x 的最大值为 0.1 2 x x1 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13不等式(2x)(2x1)0 的解集为_解析：原不等式等价于1 1(x2) x 0，解得 x2，2所以原不等式的解集为x . 2 14在数列a 中，a 2，a 2a 0(nN )，b 是 a 和 a 的等差中项，设 S 为数n 1 n1 n n n n1 n列b 的前 n 项和，则 S _n 6解析：由 a 2a ，a 为等比数列，n1 n n所以 a 2 ，所以 2b 2 2 ，即 b 32 ，所以 S 313232 189. n n n 6答案：189xy20，15设 zkxy，其中实数 x，y 满足x2y40，若 z 的最大值为 12，则实数 k2xy40._解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分 ，其中点1 1A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)当k ，即 k 时，目标函数 z2 2222222n1.nn 176n 1*n 1nn1kxy 在点 A(4，4)处取得最大值 12，故 4k412，k2，满足题意；当k ，即 k21 时，目标函数 zkxy 在点 B(0，2)处取得最大值 12，故 k0212，无解综上所述， 2k2.答案：216已知数列a 的前 n 项和是 S ，且 4S (a 1) ，则下列说法正确的是_(填n n n n序号)数列a 是等差数列；n数列a 是等差数列或等比数列；n数列a 是等比数列；n数列a 既不是等差数列也不是等比数列n解析：因为 4S (a 1) ，所以 4S (a 1) ，所以 4S 4S 4a (a 1)n n n1 n1 n1 n n1 n1(a 1)n，化简得(a a )(a a 2)0，所以 a a 2 或 a a 0.因为 4a n1 n n1 n n1 n n1 n 1(a 1) ，所以 a 1.由 a a 2 得 a a 2，从而数列a 是等差数列；由 a a 1 1 n1 n n1 n n n1 na0 得 1，从而数列a 是等比数列故数列a 是等差数列或等比数列a n nn答案：三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 a 3，S 49，nNn n 2 7(1)求数列a 的通项公式；n（a 1）2 1(2)设 b ，求数列b 的前 n 项和 T .n n n na d3，解：(1)设数列a 的公差为 d，则7a d49，2a11，解得d2.故 a a (n1)d2n1(nN )，所以数列a 的通项公式为 a 2n1(nN ) n 1 n n*（a 1）2 （2n11）2 (2)b n n n即b 是 b 2，q2 的等比数列， n 1n 12 ，nn1n 1*n2a2 2 2 aa a1 aA6b （1q ） 2（12 ）所以 T 2 2(nN )1q 12118(本小题满分 12 分)已知 f(x)x a x1.1(1)当 a 时，解不等式 f(x)0；2(2)若 a0，解关于 x 的不等式 f(x)0.1 5 1解：(1)当 a 时，有不等式 f(x)x x10，所以 x (x2)0，2 21 1所以 x2，即所求不等式的解集为 ，2 .21 1 1(2)因为 f(x) x (xa)0，a0，且方程 x (xa)0 的两根为 x a，x ，1 2 a1 1所以当 a，即 0a1 时，不等式的解集为 a， ；a1当 a，即 a1 时，a不等式的解集为 ，a ；1当 a，即 a1 时，a不等式的解集为119(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C 3asin Cbc0.(1) 求 A；(2) 若 a2，ABC 的面积为 3，求 b，c.解：(1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0.因为 BAC，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0. 1由于 sin C0，所以 sin .2又 0<A<，故 A .322222 2 22 62 2 22220，3222a an n1( )2 2 2222 2 21(2)ABC 的面积 S bcsin A 3，故 bc4.而 a2bc2bccos A，故 b2c 8.解得 bc2.20(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 AB 3，BC2.(1)若 cos B36，求 sin C 的值；(2)求角 C 的取值范围解：(1)在ABC 中，由余弦定理知 AC AB BC 2AB BCcos B3422 3 3 9，所以 AC3.又 sin B 1cos B 61 3 2 33 ，6AB AC AB 11由正弦定理得 ，所以 sin C sin B .sin C sin B AC 6(2) ABC 中，由余弦定理得 AB AC BC 2AC BCcos C，所以 3AC 44ACcos C，即 AC 4cos CAC10 ，1由题意得关于 AC 的一元二次方程有解，令 (4cos C) 40，解得 cos C 或21cos C ，21因为 ABBC，所以 cos C 0，所以 cos C 应舍去，2 所以 0C ，故角 C 的取值范围是 3.21(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a (bCc) (2 3)bc，sin Asin Bcos .2(1)求角 B 的大小； 4 (2)若等差数列a 的公差不为零，且 a cos 2B1，a ，a ，a 是等比数列，求数列 n 1 2 4 8的前 n 项和 S .nb c a解：(1)由 a (bc) 2 3 bc，得 a b c 3bc， 所以 cos A 2 bc3.2C 12，5 6C222n 2 2 3 3 4n1 1n122因为 0A，所以 A .61cos C由 sin Asin Bcos ，得 sin B ，2 2 2 所以 sin B1cos C，所以 cos C0，则 C 2 5又因为 BCA ，6.所以 sinC 1cos C， 所以 cos 3 1.解得 C .故 BAC . 3 6(2)设数列a 的公差为 d.n1由已知得 a 2.因为 a ，a ，a 是等比数列，所以 a a a ，所以(a 3d) (a1 cos 2B 2 4 8 4 2 8 11d)(a 7d)，整理，得 d(d2)0.1又因为 d0，所以 d2，所以 a 2n，n所以4a an n11 1 1 ， n（n1） n11 1 1 1 1 所以 S 1 1 nn 1 . n1 n122.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)(x1) ，g(x)4(x1)，数列a 满足 a 2，a 1，n 1 n(a a )g(a )f(a )0.n1 n n n3 1(1)求证：a a ；n1 4 n 4(2)求数列a 1的通项公式；n(3)若 b 3f(a )g(a )，求b 中的最大项n n n1 n解：(1)证明：由(a a )g(a )f(a )0，g(a )4(a 1)，f(a )(a 1)n1 n n n n n n n，得(a 1)(4ann13a 1)0. n又 a 1， n3 1 所以 a a .n1 4 n 4a 1 （a 1）a 1 a 1 a 134342222 4434334 2 4343 1 3an11 4 n 4 4 n 3(2)因为 a 1，所以 (n1)，n 4n n n3所以a 1是公比为 的等比数列n 4又 a 11，1所以 a 1nn1.(3)由(2)知 a nn11，3 1由(1)知 a a ， n1 4 n 4则 b 3f(a )g(a ) n n n13(a 1) 4(a 1)n n13(a 1) 4 n3a 9a 6n n3 1a 14 n 43 n1 3 n1 3 19 1632n234n1，设 un1，yb ， n1 2 3则 y3 u ，因为当 n1 时，0un11，所以当 u1 时，y 0，此时 n1，max则b 的最大项为 b 0.n 1