【知识梳理与训练】第九章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

22 22 22 2 22第 4 节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆 C：(xa) (yb) r ，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的（xa） （yb） r 距离为 d，由AxByC02，消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.位置关系相交相切相离方法几何法d<rdrd>r代数法>00<02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为 R，r，Rr，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来 表示：位置关系几何特征相离 dRr外切 dRr相交 RrdRr内切 dRr内含 dRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解 无实数解公切线条数4 321 0微点提醒圆的切线方程常用结论(1)过圆 x y r 上一点 P(x ，y )的圆的切线方程为 x xy yr .0 0 0 022 222222222 2 22 22 222222222 22 2(2)过圆(xa) (yb) r 上一点 P(x ，y )的圆的切线方程为(x a)(xa)(y0 0 0 0b)(yb)r .(3)过圆 xyr外一点 M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 0 0x xy yr .0 0基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 xy1 相交”的必要不充分条件.( )(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )(3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(4) 过圆 O：x y r 外一点 P(x ，y )作圆的两条切线，切点分别为 A，B，则0 0O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x xy yr0 02.( )解析(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x y 1 相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切； (3)两圆还可能内切或内含.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 2P132A5 改编) 直线 l：3xy60 与圆 x y 2x4y0 相交于 A，B 两点，则|AB|_.解析由 xy2x4y0 得(x1)(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r 5.又圆心(1，2)到直线 3xy6 0 的距离为 d|326| 9110 ，|AB|由 r 2d2，得|AB|10，即|AB| 10.答案103.(必修 2P133A9 改编)圆 x y 40 与圆 x y 4x4y120 的公共弦长为 _.2 22 22 22 22 22 22 23 3232222解析x2y240，由x y 4x4y120，得两圆公共弦所在直线方程 xy20.又圆2x y 4 的圆心到直线 xy20 的距离为 2.由勾股定理得弦长的一半2为答案42 2，所以，所求弦长为 2 2. 2 24.(2019 大连双基测试)已知直线 ymx 与圆 x y 4x20 相切，则 m 值为 ( )A. 3B.33C.32D.1解析由 x y 4x20 得圆的标准方程为(x2) y 2，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径 r 2，又直线 ymx 与圆 x y 4x20 相切，则圆心到直线的距离 d|2m | 2，解得 m1.m21答案D5.(2019 西安八校联考)若过点 A(3，0)的直线 l 与曲线(x1) y 1 有公共点， 则直线 l 斜率的取值范围为( )A.( 3， 3)3 3C.( ， )B. 3， 3 3 3 D. ， 3 3 解析数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x3)，则圆心(1 ， 0) 与直线 y k( x 3) 的距离应小于等于半径 1 ，即|2k|1k1，解得333k .答案D6.(2019 太原模拟)若圆 C ：x1y1 与圆 C ：x 2y6x8ym0 外切，则 m222 22 2223 33 32 22 22 22 2( )A.21 B.19 C.9 D.11解析圆 C 的圆心为 C (0，0)，半径 r 1，因为圆 C 的方程可化为(x3) (y 1 1 1 2 4) 25 m ，所以圆 C 的圆心为 C (3， 4) ，半径 r 2 2 225m (m<25). 从而|C C | 1 29.答案C3 4 5.由两圆外切得|C C |r r ，即 11 2 1 225m5，解得 m考点一直线与圆的位置关系【例 1】 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x y 1 外，则直线 axby1 与圆 O 的 位置关系是( )A.相切C.相离(2)(2019 湖南六校联考 )已知O：xyB.相交D.不确定1，点 A(0，2)，B(a，2) ，从点 A 观察点 B，要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2)(2，)4 3 4 3B.(， )( ，)3 32 3 2 3C.(， )( ，)4 3 4 3D.( ， )解析(1)因为 M(a，b)在圆 O：x y 1 外，所以 a b 1，而圆心 O 到直线axby1 的距离 d|a0b 01|11，故直线与圆 O 相交.a ba b(2)易知点 B 在直线 y2 上，过点 A(0，2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2，即 kxy20.2333 3222 2222222222由 d|002|1，得 k 3.1k4 3 4 3切线方程为 y 3x2，和直线 y2 的交点坐标分别为( ，2)，( ， 2).4 3 4 3故要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是(， )( ，).答案(1)B (2)B规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1) 几何法：利用 d 与 r 的关系.(2) 代数法：联立方程之后利用 判断.(3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 .上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练 1】(1)“a3”是“直线 yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切”的( )A.充分不必要条件 C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)圆 x y 2x4y0 与直线 2txy22t0(tR )的位置关系为( )A.相离C.相交B.相切D.以上都有可能解析(1)若直线 yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切，则有|a34| 22 2，即|a1|4，所以 a 3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆 (xa) (y3) 8一定相切，故“a3”是“直线 yx4 与圆 (xa) 不必要条件.(2)直线 2txy22t0 恒过点(1，2)，1 (2) 214(2)5<0，(y3)8 相切 ”的充分点(1，2)在圆 xy22x4y0 内，2 22 222222 222222222 2直线 2txy22t0 与圆 x y 2x4y0 相交.答案(1)A (2)C考点二角度 1圆的切线、弦长问题圆的弦长问题多维探究【例 21】(2018 全国卷)直线 yx1 与圆 x y 2y30 交于 A，B 两点， 则|AB|_.解析由题意知圆的方程为 x (y1) 4 ，所以圆心坐标为 (0 ， 1)，半径为2，则圆心到直线 yx1 的距离 d|11|2 2，所以|AB|2 2 （ 2） 2 2.答案角度 22 2圆的切线问题【例 22】过点 P(1，2)作圆 C：(x1) y 1 的两条切线，切点分别为 A， B，则 AB 所在直线的方程为( )A.y34B.y12C.y32D.y14解析圆(x1)y1 的圆心为 C(1，0)，半径为 1，以 |PC | （11） （20） 2 为直径的圆的方程为 (x 1) (y 1) 1，1将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y .答案B角度 3与弦长有关的最值和范围问题【例 23】(2018 全国 卷)直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点， 点 P 在圆(x2) y 2 上，则ABP 面积的取值范围是( )A.2，6 B.4，822 22 2222 22 222C. 2，3 2 D.2 2，3 2解析圆心 (2， 0) 到直线的距离 d |202| 2 2 2，所以点 P 到直线的距离d 2，3 2. 根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 ( 2 ， 0)，(0 ， 112)，所以 |AB|2 2，所以ABP 的面积 S |AB|d 2d .因为 d 2，3 2，1 1 1所以 S2，6，即ABP 面积的取值范围是2，6.答案A规律方法1.弦长的两种求法(1) 代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程 . 在 判别式 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2) 几何方法：若弦心距为 d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r d .2.过圆外一点(x ，y )的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为 k，则切线方0 0程为 yy k(xx )，即 kxyy kx 0，由圆心到直线的距离等于半径，即 0 0 0 0可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证.【训练 2】 (1)已知过点 P(2，2)的直线与圆( x1) y 5 相切，且与直线 xay 10 平行，则 a_.(2)(2019 合肥测试 )过点 (3，1)作圆 (x2) (y2) 4 的弦，其中最短弦的长为 _.解析(1)因为点 P 在圆(x1) y 5 上，所以过点 P(2，2)与圆(x1) y 5相切的切线方程为(21)(x1)2y5，即 x2y60，由直线 x2y60 与 直线 xay10 平行，得a2，a2.(2)设 P(3，1)，圆心 C(2，2)，则|PC | 2，半径 r2.由题意知最短的弦过 P(3，1)且与 PC 垂直，所以最短弦长为 22 （ 2） 2 2.答案(1)2 (2)2 22222222222 22 2222 22 222222222考点三圆与圆的位置关系【例 3】 (2019 郑州调研 )已知两圆 xy2x6y10，xy10x12ym0.(1) m 取何值时两圆外切？(2) m 取何值时两圆内切？(3) 当 m45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解因为两圆的标准方程分别为(x1)(y3)211，(x5) (y6) 61m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为 11， 61m，(1) 当两圆外切时，由 （51） （63） 11 61m ，得 m 25 10 11.(1) 当两圆内切时，因为定圆半径 11 小于两圆圆心之间的距离 5，所以 61m 115，解得 m2510 11.(3) 由 (x y 2x6y 1)(x y 10x12y 45) 0 ，得两圆的公共弦所在直 线的方程为 4x3y230.故两圆的公共弦的长为 2|43323|（ 11） （ ） 2 7.4 3规律方法1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x ，y 项 得到.【训练 3】 (1)已知圆 M：xy2ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1) (y1) 1 的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2019 安阳模拟 )已知圆 C ：x1ykx2y0 与圆 C ：x2yky40 的公 14 14 14 1422 2222442共弦所在直线恒过点 P(a，b)，且点 P 在直线 mxny20 上，则 mn 的取值范 围是( )A.0， C.， B.0， D.， 解析(1)由题意得圆 M 的标准方程为 x (ya) a ，圆心(0，a)到直线 xya0 的距离 d ，所以 22aa 2 2，解得 a2，圆 M，圆 N 的圆心距 |MN | 2小于两圆半径之和 12，两圆半径之差 1，故两圆相交.(2)将圆 C 与圆 C 的方程相减得公共弦所在直线的方程为 kx(k2) y40，即1 22y40， x2，k(xy)(2y4)0，由 得xy0 y2，mn2 1即 P(2，2)，因此 2m2n20，mn1，则 mn ，当且仅当 2 1 1mn 时取等号，mn 的取值范围是， . 答案(1)B (2)D思维升华1.解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关 系，养成勤画图的良好习惯.2.求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.而在求两圆的 公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.易错防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的 性质，可以用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算.2 2 22 2 22 2 222 22 2222.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上 (即为切点 ) ，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线 有两条，此时注意斜率不存在的切线.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.过点(3，1)作圆(x1) y r 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A.2xy50 C.x2y50B.2xy70 D.x2y70解析过点(3，1)作圆(x1) y r 的切线有且只有一条， 点 (3，1)在圆(x1) y r 上，圆心与切点连线的斜率 k10311 ，切线的斜率为2，则圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.答案B2.(2019 佛山调研)已知圆 O 的方程为 x y 1，圆 O 的方程为(xa) y 4，1 2如果这两个圆有且只有一个公共点，那么 a 的所有取值构成的集合是( )A.1，1，3，3 C.1，1B.5，5，3，3 D.3，3解析由题意得两圆的圆心距 d |a|21 3 或 d |a |211，解得 a3 或a3 或 a1 或 a1，所以 a 的所有取值构成的集合是1，1，3，3.答案3.圆 xA2xy4y30 上到直线 xy10 的距离为 2的点共有( )222 22 2（2）2 2A.1 个C.3 个解析B.2 个D.4 个圆的方程化为 (x 1) (y 2) 8 ，圆心 ( 1 ， 2) 到直线距离 d |121| 2 2，半径是 2 2，结合图形可知有 3 个符合条件的点.答案C4.(2019 湖南十四校二联 )已知直线 x2ya0 与圆 O：x y 2 相交于 A，B两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为( )A. 6或 6 C. 6B. 5或 5 D. 5解析因为直线 x2ya0 与圆 O：x y 2 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得|a|1，所以 a 5.12 2答案B5.(2019 武汉二模)直线 l：kxyk10 与圆 x y 8 交于 A，B 两点，且|AB|4 2，过点 A，B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M，N，是|MN|等于( ) A.2 2 B.4 C.4 2 D.8解析|AB|4 2为圆的直径，所以直线 AB 过圆心(0，0)，所以 k1，则直线 l 的方程为 yx，所以两条垂线的斜率均为 1，倾斜角 45，结合图象易知 |MN|2 22 28.答案D二、填空题2 2222 222222 22 2222 2226.若 A 为圆 C ：x y 1 上的动点，B 为圆 C ：(x3) (y4) 4 上的动点，1 2则线段 AB 长度的最大值是_.解析圆 C ：x y 1 的圆心为 C (0，0)，半径 r 1，1 1 1圆 C ：(x3) (y4) 4 的圆心为 C (3，4)，半径 r 2，2 2 2|C C |5.又 A 为圆 C 上的动点，B 为圆 C 上的动点， 1 2 1 2线段 AB 长度的最大值是 |C C |r r 5128.1 2 1 2答案87.已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，且圆 C 与圆(x2) (y3) 8 相外切，则圆 C 的方程为_.解析由题意知圆心 C(1，0)，其到已知圆圆心 (2，3)的距离 d3 2，由两圆相外切可得 R2 2d3 2，即圆 C 的半径 R 2，故圆 C 的标准方程为(x 1) y 2.答案(x1) y 28.已知直线 l：xay10(aR )是圆 C：xy4x2y10 的对称轴.过点A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|_.解析由于直线 xay10 是圆 C：x y 4x2y10 的对称轴，则圆心 C(2，1)满足直线方程 xay10， 所以 2a10，解得 a1，所以 A 点坐标为(4，1).从而 |AC|36440.又 r2，所以|AB| 40 436. 即 |AB|6.答案6三、解答题9.已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x 上.2222222424222<k< .(1) 求圆 C 的方程；(2) 已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程.解(1)设圆心的坐标为 C(a，2a)，则 （a2） （2a1） |a2a1| 2.化简，得 a 2a10，解得 a1.所以 C 点坐标为(1，2)，半径 r|AC| （12） （21） 2.故圆 C 的方程为(x1) (y2) 2.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 C 截得的 弦长为 2，满足条件.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，由题意得|k2| 3 1，解得 k ，1k3则直线 l 的方程为 y x.综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y0.10.已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2) (y3) 1 交于 M，N 两点.(1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON12，其中 O 为坐标原点，求|MN |.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1，由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1，因为 l 与 C 交于两点，所以4 7 4 7解得3 3|2k31| 1k<1.4 7 4 7所以 k 的取值范围为 ， . 3 3 2222221 21 22222 22 222225522(2)设 M(x ，y )，N(x ，y ).1 1 2 2将 ykx1 代入方程(x2) (y3) 1，整理得(1k)x4(1k)x70.4（1k） 7 所以 x x ，x x .1k 1k OM ONx x y y (1k )x x k(x x )11 2 1 2 1 2 1 24k（1k） 1k8.由题设可得4k（1k） 1k812，解得 k1，所以 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2019 湖北四地七校联考)若圆 O ：x y 5 与圆 O ：(xm) y 20 相交于1 2A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是( )A.3 B.4 C.2 3 D.8解析连接 O A ， O A ，由于 O 与 O 在点 A 处的切线互相垂直，因此 1 2 1 2O AO A，所以|O O | 1 2 1 2 |O A | 1 |O A| 2，即 m52025，设 AB 交 x 轴于点5C. 在 RtO AO 中 ， sinAO O ， 在 RtACO 中 ， |AC| 1 2 2 1 25|AO |sinAO O 2 5 2，|AB|2|AC|4.2 2 1答案B12.(2018 合肥模拟)设圆 xy2x2y20 的圆心为 C，直线 l 过(0，3)，且与圆 C 交于 A，B 两点，若|AB |2 3，则直线 l 的方程为( )2 22 222222k 222442222222A.3x4y120 或 4x3y90 B.3x4y120 或 x0C. 4x3y90 或 x0D. 3x4y120 或 4x3y90解析当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x 0 ，联立得方程组x0， x0， x0， 解得 或 x y 2x2y20， y1 3 y1 3，|AB | 2 3 ，符合题意 .当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx3，圆 x y 2x2y20即(x1) (y1) 4，圆心为 C(1，1)，圆的半径 r2，易知圆心 C(1，1)到|k13| |k2| |AB|2直线 ykx3 的距离 d ，d r ，1 k 1（k2） k 123 334，解得 k ，直线 l 的方程为 y x3，即 3x4y120.综上，直线 l 的方程为 3x4y120 或 x0.答案B13.(2019 福州模拟)直线 axbyc0 与圆 C：x 2xy 4y0 相交于 A，B 两 点，且|AB| 15，则CA CB_.解析圆 C：x2xy4y0 可化为(x1)(y2)5，如图，过 C 作 CDAB 于 D，AB2AD2ACcosCAD， 152 5cos CAD，CAD30，ACB120， 5 则CA CB 5 5cos 120 .222 2 22200222 212，0022222222222答案5214.已知H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，且截 x 轴所 得线段的长为 2.(1) 求H 的方程；(2) 若存在过点 P(a，0)的直线与H 相交于 M，N 两点，且|PM|MN|，求实数 a 的取值范围.解(1)设H 的方程为(xm)(yn)r2(r>0)，因为H 被直线 xy10，xy30 分成面积相等的四部分，所以圆心 H(m，n)一定是两互相垂直的直线 xy10，xy30 的交点，易 得交点坐标为(2，1)，所以 m2，n1.又H 截 x 轴所得线段的长为 2，所以 r 1 n 2.所以H 的方程为(x2)(y1)2.(2)设 N(x ，y )，由题意易知点 M 是 PN 的中点，所以 M0 0因为 M，N 两点均在H 上，所以(x 2) (y 1) 2，0 0x a y ， .2 2 x a y 2 即(x a4) (y 2) 8， 0 0设I：(xa4) (y2) 8，由知H 与I：(xa4)(y2)8 有公共点，从而 2 2 2|HI|2 2 2，即 2 （a2） （12） 3 2，整理可得 2a 4a518，解得 2 17a1 或 3a2 17，所以实数 a 的取值范围是2 17，13，2 17.