人教版九年级上册数学《正多边形和圆》同步辅导与测试(含解析).docx
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1、九年级数学同步辅导与测试正多边形和圆重点、难点:1. 正多边形的定义:各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。2. 正多边形与圆的关系( 1)把圆分成n( n 3)等份,有如下结论:其一:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形,这圆是正n 边形的外接圆。其二:经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形,这圆是正 n 边形的内切圆。n( 2)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。3. 有关的概念( 1)正多边形的中心( 2)正多边形的半径( 3)正多边形的边心距( 4)正多边形的中心角4. 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成
2、 2n 个全等的直角三角形。这里我们设:正n 边形的中心角为 ,半径为 R,边心距为 r ,边长为 an,周长为 Pn,面积为 Sn,则有( )360;(2)an2 R180;( )180;1nsin3 rR cosnn221211( 4)Rr4 a n; ( 5)Pnn a n ;( 6) Sn2 n r a n2 r Pn;( 7 )正多边形的每一个内角( n2)180 ,内角和(n 2)180 .n5. 每一个正多边形都是轴对称图形,当边数为偶数时,它还是中心对称图形。6. 重点和难点:( 1)重点是正多边形的计算问题,计算通常是通过解直角三角形来解决的,所以在解这类题时,要尽量创造直角
3、三角形,把所求的问题放到直角三角形中去,尤其是含30、60角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。( 2)难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。知识总结正多边形的定义要理解后记牢, 这里各边都相等,各角都相等,缺一不可,边数一样多的正多边形是相似多边形。对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆, 但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。有关正多边形的计算实质是把问题转化为解直角三角形的计算, 所以这里要用到三角函数及勾股定理等有关知识。要注意线段的转化, 如圆内接三角形的半径 (即该圆的半径) 又是该圆外切正三角形的边心距,掌握了这些变化,有利于运算求值的一些计算。巩固提高已知: 四边形内接于
4、圆,且AC BD于,求证: AB 2BC 2CD 2DA2为定ABCDOE值。ADEOCB图 720分析:本题可用特殊值法探求定值,因为 A、B、C、D在 AC BD的制约下是圆上任意点,2222的定值, 由所以 E 随之运动, 当 E 运动到圆心 O这一特殊位置时, 不难得到 AB +BC+CD+DA于图形中元素便于用数量关系表示,所以采用计算法较好。证明:设 ADB,则 CAD90在 ABD 中,由正弦定理有 AB 2 R sin在CD中,有 CD2Rsin( 90)2RcosAB 2CD 2(2 R sin) 2( 2R cos) 2(2R )24 R2同理BC2AD 2(2R) 24R
5、 2AB 2BC 2CD 2DA 24R 24R 28R2 为定值。BC中,abc2Rsin Asin Bsin C说明:此例中用到正弦定理,即其中 a、 b、 c是BC的三边, 2R是BC外接圆的直径,正弦定理很常用,也很好证。AAOBC图 721证法如下:如图7 21,A 的对边为 a,连结 BO 并延长 BO 交圆 O于 A ,连结 A CA B是直径,A CB90BCa在 Rt A CB当中, sin A AB2RBCBC,AAsin Aa ,即a2 R2 Rsin A同理可证b,c2R2sin BRsin Cabc2Rsin Asin Bsin C【例题分析】例 1. 求半径为 2c
6、m的圆内接正三角形的边长及面积。COADB图 714解:如图7 14, O为正ABC 的中心, ODAB于D.AOB360120 ,AOD603AO 2cm,AD AOsin 6033( cm)221即 AB23 (cm)又 ODOAcos6021(cm),2在 ABC 中, AB 边上的高 CDCOOD2 1 3(cm)S ABC1AB CD1233 33 (cm) 2 .22正三角形 ABC 的边长为 23cm,面积为 33cm2 .例 2. 一个圆内接正方形的边心距为r ,求该圆的外切正六边形的边长。分析:由题意画图 7 15,AB 是圆 O 的内接正方形的一边, CD是外切正六边形的一
7、条边,通过OM可求出圆 O的半径 OA,然后再找OA与 CD的关系。OCABMD图 715解:如图, AB是圆 O内接正方形的一条边,OMr,A2 rCD为圆 O外切正六边形的一条边,COD360606OACD ,且 AOC30ACOAtan 30362 rr3 3圆 O的外切正六边形的边长为2 6 r. 3例3.如图7 16, AB 是半圆的直径,C、D是 AB的三分之一点,若半径为R,求阴影部分的面积。CDAOB图 716解:连结 CD、 OC、 OD。C、 D是 AB 的三分之一点,ACDB, CD /AB平行线间的距离处处相等,OCD 与 CBD 有相等的高。S OCDS CBDS阴影
8、S扇形 OCDS1R 2S1R 2扇形 OCD6阴影6例 4. 如图 7 17,矩形 ABCD中, AD=2AB=2,以 D 为圆心,以 DA 为半径的弧交 BC 于 F 交 DC延长线于 E,求阴影部分面积。ADBFCE图 717解:连结 DF,AD DFDEAD 2AB2 ,DF2DC 2, CD 1DCF 90 ,DFC30AD / /BC,ADF 30在 RtDCF 中, cotDFCFC ,FC3CDS DFC1CD FC,S DFC3 .2222Sn R,S扇形 ADE902,同理 S扇形 ADF.扇形 ADE3603603S阴影S扇形 ADES扇形 ADFS DFC3323 ,2
9、32S阻影23.32例 5. 如图 7 18,矩形 ABCD中, AB=4,AD=6,求以矩形一边所在直线为轴旋转一周后的立体图形的表面积。ADBC图 718分析:由于矩形的长和宽不等, 以 AB边所在直线为轴旋转和以 AD边所在直线为轴旋转所得到的立体图形表面积是不一样的,所以要分类讨论。略解:( 1)设以 AB 边所在直线为轴旋转,上底面周长2AD2612上底面面积下底面面积AD 236侧面面积上底面周长AB 48表面积侧面面积上底面面积下底面面积363648120( 2)设以 AD边所在直线为轴旋转,上底面面积=下底面面积 =16上底面周长8 ,侧面积48 ,表面积6164880 .【模
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