数学论文希尔伯特空间中子空间的闭性与补性.doc
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1、希尔伯特空间中子空间的闭性与补性 (孝感学院数学系031114112)摘要:本文主要讨论了内积空间中子空间所需的条件,并证明了以下主要结果:(1) 设是内积空间,是中的子空间,则的子空间,使得.(2) 若是内积空间,是中的有限维子空间,则;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则不一定成立关键词:内积空间;直交补;子空间;闭集. Hilbert space neutron closed space with the complementary natureHuang xue-mei(031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University)
2、Abstract: This article mainly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven belowthe main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes .(2)if is the inner product space, i
3、s center finite-Dimensional the sub- space, then establishment; Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur sub- space, then not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space; Is perpendicular to makes up; Sub- space; Closedset.0 问题的提出在文献1中提出了如下问题:“Le
4、t be a space, is a subset of ,then is a closed subspace.Prove the conclusion.Beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .If is also a subspace,can we conclude that ? why?”在文献2中,只证明了是Hilbert空间的闭子空间时,有及成立本文将讨论当是内积空间的子空间时,及在哪些条件下成立,并给出证明;文献8研究了模糊内积空间中的投影定理,本文将探讨一般内积空间中投影定理成立
5、的条件,并试图减弱文献2中的投影定理的条件.本文中,用表示与的内积;用表示的范数(由内积导出的范数即);当且仅当;为的直交补; 为的线性包;是的闭包;是线性包的闭包;是闭包的线性包; ,; 表示空集;若内积空间是复的内积空间时,是复数域;若内积空间是实的内积空间时,是实数域;是闭区间上全体连续函数构成的线性空间; Hilbert空间即完备的内积空间; 为子空间的维数;另外表示等于与的直和,即,使.本文还类似文献3,7在内积空间中引入了正交补概念:设,是内积空间的子空间,若,就称是的正交补在文献5中讨论了无限维欧式空间中子空间直交补(即为文献5中的正交子空间)与正交补等价的条件,并且发现直交补与
6、正交补是否相同是由欧式空间的完备特性所决定的;本文在文献4和5的启发下,讨论了当是内积空间的子空间时, 的直交补与正交补的关系.1 引理及证明引理1 (Schwarz不等式)设按内积成为内积空间,则对,成立不等式 当且仅当与线性相关时,不等式取“”引理2 设为内积空间,对,若,则证明 ,对,使得,有,使得,有于是, 当时,有 (由引理1),又时,有 ,当时,有界,令,则,.注1 引理2说明:若将看作一个二元函数,则此二元函数是连续的,即极限符号与内积符号可以交换位置:.引理3 设为内积空间,是的子集,则是中的闭子空间.证明 先证是中的子空间:对,则,有,.再证是闭子空间:对收敛点列且,有:,由
7、引理2,有,是闭子空间.引理4 设是内积空间的非空子集,则成立.证明 对,.引理5 设,是内积空间中的非空子集且,则.证明 对,有,.引理6(投影定理) 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理7 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理8 设是内积空间的线性子空间,则.证明 为线性子空间, 又, 对,有且,.引理9 设是内积空间的非空子集且,则成立.证明 由引理4知,下证:对,由于,有,由引理3有 是中的闭子空间,应用引理8有 , .引理10 设是内积空间的子空间,则.证明 显然成立,下证:对,使,是子空间, ,.引理11 设且,则且,有.证明 由积分中值定理,使,使.假设在
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