华师大版八年级下19.3正方形与特殊的四边形综合题专训(二).doc
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1、华师大版八年级下册19.3正方形与特殊的四边形综合题专训一、 正方形与平行四边形综合试题、如图,P是正方形ABCD内一点,以正方形ABCD的一条边做为对角线,点P与这条边的两个端点作平行四边形,依次得点E、F、G、H,求证:四边形EFGH是正方形【分析】如图,连接BD、AC则AC=BD通过证明AHEPDB(SAS),推知HE=BD,AHE=PDB,则HEDB易证四边形EFGH是平行四边形同理,EFHGAC,EF=AC=HG,所以EH=EF,EHEF,故四边形EFGH是正方形【解答】证明:如图,连接BD、AC则AC=BD四边形AHDP和四边形AEBP为平行四边形,AH=DP,AE=BP又HAP+
2、APD=180,EAP+BPA=180HAE=BPD,在AHE与PDB中,AHEPDB(SAS),HE=BD,AHE=PDB,又AHPD,HEDB同理,GF=BD,GFBD,HE=GF,HEGFBD,四边形EFGH是平行四边形同理,EFHGAC,EF=AC=HG,又ACBD,EH=EF,EHEF,四边形EFGH是正方形【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,正方形的判定与性质证得EFEH是解题的难点试题、(2015春江阴市期中)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG(1)求证:EFA
3、C;(2)求BEF大小;(3)若EB=4,则BAE的面积为2【分析】(1)利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题;(2)作辅助线构造出一对全等三角形,利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题;(3)借助旋转变换将BCG与BAE拼接到一起,通过作辅助线求出BHE的高,问题即可解决【解答】解:(1)四边形ABCD是正方形,AECF,又AE=CF,四边形AEFC是平行四边形,故EFAC(2)连接BG四边形ABCD是正方形,且EFAC,DEG=DAC=45,DGE=DCA=45; 故CFG=DEG=45,CGF=DGE=45,CGF=CFG,CG=CF;AE=CF,AE=CG;在ABE与CBG中
4、,ABECBG(SAS),BE=BG;又BE=EG,BE=BG=EG,BEG是等边三角形,故BEF=60(3)延长EA到M,使AH=CG;过点M作MKBE于点K;BEG是等边三角形,EBG=60,ABE+CBG=9060=30;在ABM与BCG中,ABMBCG(SAS),BM=BC=4,ABM=CBG;故ABM+ABE=ABE+CBG=30,MK=,BME的面积=,BAE的面积【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题;解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形,结合等边三角形的判定及其性质来解决问题;对综合运用能力及探究思维能力提出了较高的要求试题、(2013惠东县校级模拟)如图
5、,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG(1)求证:DE=DG; DEDG;(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明);(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想【分析】(1)根据正方形性质求出AD=DC,GAD=DCE=90,根据全等三角形判定推出即可;根据全等得出GDA=CDE,求出GDE=GDA+ADE=ADC=90即可;(2)分别以G、E为圆心,以DG为半径画弧,两弧交于F,连接GF、EF即可;(3)推出EF=CK,EFCK,根据平行四边形
6、的判定推出即可【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形,AD=DC,GAD=DCE=90,在GAD和ECD中GADECD(SAS),DE=DG;四边形ABCD是正方形,ADC=90,GADECD,GDA=CDE,GDE=GDA+ADE=CDE+ADE=ADC=90,DEDG(2)解:如图所示:;(3)四边形CEFK是平行四边形,证明:四边形ABCD是正方形,B=ECD=90,BC=CD,在KBC和ECD中KBCECD(SAS),DE=CK,DEC=BKC,B=90,KCB+BKC=90,KCB+DEC=90,EOC=18090=90,四边形DGFE是正方形,DE=EF=CK,FED=90=E
7、OC,CKEF,四边形CEFK是平行四边形【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,正方形性质的应用,主要考查学生的推理能力试题、(2015春天水期末)如图所示:在ABC中,分别以AB、AC、BC为边,在BC的同侧作等边ABD、等边ACE、等边BCF(1)求证:四边形DAEF是平行四边形;(2)探究下列问题:(只填条件,不需证明)当BAC满足BAC=150条件时,四边形DAEF是矩形;当BAC满足BAC=60条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在;当ABC满足BAC=150且AB=AC条件时,四边形DAEF是正方形【分析】(1)由等边三角形的性质得出AC=CE=AE,
8、AB=AD=BD,BC=CF=BF,BCF=ACE=60,求出BCA=FCE,证BCAFCE,得出EF=BA=AD,同理DF=AC=AE,即可得出结论;(2)求出DAE的度数,根据矩形的判定得出即可;证出D、A、E三点共线,即可得出结论;由得出四边形DAEF是矩形;再由AB=ACBC得出四边形DAEF是菱形,即可得出结论【解答】(1)证明:ABD、BCE、ACE是等边三角形,AC=CE=AE,AB=AD=BD,BC=CF=BF,BCF=ACE=60,BCA=FCE=60ACF,在BCA和FCE中,BCAFCE(SAS),EF=BA=AD,同理:DF=AC=AE,四边形DAEF是平行四边形;(2
9、)解:当A=150时,四边形DAEF是矩形,理由如下:ABD、ACE是等边三角形,DAB=EAC=60,DAE=3606060150=90,四边形DAEF是平行四边形,四边形DAEF是矩形,故答案为:=150;当BAC=60时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在;理由如下:BAC=60,BAD=CAE=60,点D、A、E共线,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在;故答案为:BAC=60;当ABC满足BAC=150,且AB=ACBC时,四边形DAEF是正方形,理由如下:由得:当BAC=150时,四边形DAEF是矩形;当AB=AC时,由(1)得:EF=AB=AD,DF=AC=AE,AB=AC,A
10、D=AE,四边形DAEF是平行四边形,四边形DAEF是菱形,四边形DAEF是正方形故答案为:BAC=150,AB=AC【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定;解此题的关键是求出EF=BA=AD,DF=AC=AE,主要考查了学生的推理能力试题、(2011嘉兴)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形E
11、FGH的形状(不要求证明);(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设ADC=(090),试用含的代数式表示HAE;求证:HE=HG;四边形EFGH是什么四边形?并说明理由【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到E=F=G=H=90,求出四边形是矩形,根据勾股定理求出AH=HD=AD,DG=GC=CD,CF=BF=BC,AE=BE=AB,推出EF=FG=GH=EH,根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可;(2)根据平行四边形的性质得出,BAD=180,根据HAD和EAB是等腰直角三角形,得到HAD=EAB=45,求出HAE即可;根据AEB和DGC是等腰直角三角形,得出AE=
12、AB,DG=CD,平行四边形的性质得出AB=CD,求出HDG=90+a=HAE,根据SAS证HAEHDG,根据全等三角形的性质即可得出HE=HG;与证明过程类似求出GH=GF,FG=FE,推出GH=GF=EF=HE,得出菱形EFGH,证HAEHDG,求出AHD=90,EHG=90,即可推出结论【解答】(1)解:四边形EFGH的形状是正方形(2)解:HAE=90+,在平行四边形ABCD中ABCD,BAD=180ADC=180,HAD和EAB是等腰直角三角形,HAD=EAB=45,HAE=360HADEABBAD=3604545(180a)=90+,答:用含的代数式表示HAE是90+证明:AEB和
13、DGC是等腰直角三角形,AE=AB,DG=CD,在平行四边形ABCD中,AB=CD,AE=DG,AHD和DGC是等腰直角三角形,HDA=CDG=45,HDG=HDA+ADC+CDG=90+=HAE,AHD是等腰直角三角形,HA=HD,HAEHDG,HE=HG答:四边形EFGH是正方形,理由是:由同理可得:GH=GF,FG=FE,HE=HG,GH=GF=EF=HE,四边形EFGH是菱形,HAEHDG,DHG=AHE,AHD=AHG+DHG=90,EHG=AHG+AHE=90,四边形EFGH是正方形【点评】本题主要考查对正方形的判定,等腰直角三角形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的性质和判定,
14、平行线的性质等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键二、 正方形与矩形综合试题、(2013海安县校级模拟)正方形ABCD,矩形EFGH均位于第一象限内,它们的边平行于x轴或y轴,其中,点A,E在直线OM上,点C,G在直线ON上,O为坐标原点,点A的坐标为(3,3),正方形ABCD的边长为1若矩形EFGH的周长为10,面积为6,则点F的坐标为(7,5),(8,5)【分析】由A的坐标为(3,3),正方形ABCD的边长为1得出直线OM的解析式,再求出C点的坐标利用待定系数法求出直线ON的解析式;设矩形EFGH的宽为a,则长为5a,再根据面积为6即可得出a的值,由点E在直线OM上设点E
15、的坐标为(e,e),由矩形的边长可用e表示出F、G点的坐标,再根据G点在直线ON上得出e的值,即可得出结论【解答】解:A的坐标为(3,3),直线OM的解析式为y=x,正方形ABCD的边长为1,C(4,2),设直线ON的解析式为y=kx(k0),2=4k,解得k=,直线ON的解析式为:y=x;设矩形EFGH的宽为a,则长为5a,矩形EFGH的面积为6,a(5a)=6,解得:a=2或a=3,当a=2即EF=2时,EH=52=3,点E在直线OM上,设点E的坐标为(e,e),F(e,e2),G(e+3,e2),点G在直线ON上,e2=(e+3),解得:e=7,F(7,5);当a=3即EF=3时,EH=
16、53=2,点E在直线OM上,设点E的坐标为(e,e),F(e,e3),G(e+2,e3),点G在直线ON上,e3=(e+2),解得:e=8,F(8,5)故答案为:(7,5),(8,5)【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、一次函数解析式的求法;根据题意得出直线ON的解析式是解答此题的关键,在解答时要注意进行分类讨论试题、(2016春江阴市月考)如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EHAB于H(1)求证:HF=AP;(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段AF的长【分析】(1)由正方形的性质和已
17、知条件可分别证明FEH=PBA,AB=HE,进而可证明ABPHEF,由全等三角形的性质即可得到HF=AP;(2)连接,设AF=x,则PF=BF=12x,在APF中利用勾股定理可得:42+x2=(12x)2,解方程求出x的值即可【解答】解:(1)EFBP,EHAB,FEH+EMQ=90=PBA+BMH,又QME=BMH,FEH=PBA,四边形ABCD是正方形,A=D=90,AB=AD,EHAB,EHA=90=A=D,四边形ADEH是矩形,AD=EH,又AB=AD,AB=EH,在ABP与HEF中,ABPHEF(ASA),AP=FH;(2)连结PF,EF垂直平分BP,PF=BF,设AF=x,则PF=
18、BF=12x,在APF中,42+x2=(12x)2,x=,AF=【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质,熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键试题、(2015春霸州市期末)如图,ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的外角平分线CF于点F,交ACB内角平分线CE于E(1)试说明EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想ABC的形状并证明你的结论【分析】(1)根据CE平分ACB,MNBC,找到相等的角
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