《高数》积分判别法.docx
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1、积分判别法若在 1, )上 f 减 , 非负 , 则 f (n) 收敛1 f 收敛 .此时 1 f f (n) 1 f + f (1).23n证1 ff (1) = f (1), 2 f f (2)f ( k) nf + f (1). 令 n得证 .k1121n 1nn 1f , nf f (n) n 1 f , 相加得 1f注. 条件可改为x 充分大时 f 减 , 非负 .例 1(p 级数 )1 当且仅当 p 1时收敛 .n p证一 . p 0 时用积分判别法 ; p 0 时由必要条件 .证二p1 时由 n p n1 得发散 , p1 时用积分判别法 .*证三p1 时由 n p n1 得发散
2、 . p 1 时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8,16, ,则由 1121, 1141,及比较2 p3p2 p2 p 14 p7 p4 p4 p 1判别法知加括号后的级数收敛, 故 p 级数也收敛 .11n 3n ln nln p n ,.n 2 n ln p n,备考 . 设 f (x) = ( x ln px)1 (x 2), 则 p 0 时显然 f 减 . 而 p 0时对充分大的 x, f 仍减 p 0 时 f (x) = (x ln px) 2 ln p 1x (ln x + p) e p), 故可直接应用积分判别法得 (n ln pn) 1 当 p 1 时收
3、敛 , p 1 时发散 .n1n1n p111(1n) 3 (n 2 ) .n1 (n ) .(1n) p q(n q ) . sin n ( n ). 1(nan10, 或 10)an1 ,或n !n nane1(上ennan 1(n 1) 2册 p.40.4(5).1 ne(n1)(2n) (an= (1 + n )( 2n 1)(2n2)4 nn(ln n) p ( nan11anln n(p 1时 ,发散 ;p1 时取 q 使 pq1, 则 0 或 annq,收n pn 1n敛 ).q ( na1) (a 1) (由a x 1 ln a (x 0)知 na1=O(1xn ). p.16
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