尺规作图专题详尽归纳.docx
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1、考点名称:尺规作图【学习目标】1了解什么是尺规作图2学会用尺规作图法完成下列五种基本作图: (1) 画一条线段等于已知线段; (2)画一个角等于已知角; (3) 画线段的垂直平分线; (4)过已知点画已知直线的垂线; (5) 画角平分线3了解五种基本作图的理由4学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程5学会利用基本作图画三角形等较简单的图形6通过画图认识图形的本质,体会图形的内在美【基础知识精讲】1尺规作图:定义:限定只用直尺和圆规来完成的画图,称为尺规作图注意: 这里所指的直尺是没有刻度的直尺,由于免去了度量,因此,用尺规作图法画出的图形的精确度更高,它在工程绘图等领域应用比较广泛步骤: (
2、1) 根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分;(2) 分析作图的方法和过程; (3) 用直尺和圆规进行作图;(4)写出作法步骤,即作法。(根据题目要求来定是否需要写出作法)2尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种 .3基本作图共有五种:(1)画一条线段等于已知线段如图 24-4-1,已知线段DE 求作:一条线段等于已知线段作法:先画射线AB 然后用圆规在射线AB 上截取 AC MN 线段 AC 就是所要作的线段(2)作一个角等于已知角如图 24-4-2,已知 AOB 求作: A OB ,使 A O B AOB 作法:作射线OA ;以点 O 为圆
3、心,以任意长为半径作弧,交OA 于 C,交 OB 于以点 O为圆心,以OC 长为半径作弧,交O A于 CD以点 C为圆心,以CD 为半径作弧,交前弧于D经过点 D 作射线 O B, A OB 就是所求的角(3)作线段的垂直平分线如图 24-4-3,已知线段AB 求作:线段AB 的垂直平分线作法:分别以点A 和点B 为圆心,大于的长为半径作弧, 两弧相交于点C 和 D 作直线 CD 直线 CD 就是线段AB 的垂直平分线注意: 直线 CD 与线段 AB 的交点,就是(4)经过一点作已知直线的垂线AB的中点a经过已知直线上的一点作这条直线的垂线,如图24-4-4 已知:直线 AB 和 AB 上一点
4、求作: AB 的垂线,使它经过点作法:作平角 ACB 的平分线直线 CF 就是所求的垂线,如图C,CCF24-4-4 b经过已知直线外一点作这条直线的垂线如图 24-4-5,已知:直线AB 和 AB 外一点 C求作: AB 的垂线,使它经过点C作法:任意取一点K ,使 K 和 C 在 AB 的两旁以 C 为圆心, CK 长为半径作弧,交AB 于点 D 和 E分别以 D 和 E 为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点F作直线 CF直线 CF 就是所求的垂线注意:经过已知直线上的一点,作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决(5)平分已知角如图 24-4-6,已知 AOB 求作:射线OC,
5、使 AOC BOC 作法:在OA 和 OB 上,分别截取OD、 OE分别以 D 、E 为圆心,大于的长为半径作弧,在AOB 内,两弧交于点C作射线 OCOC 就是所求的射线注意:以上五种基本作图是尺规作图的基础, 一些复杂的尺规作图, 都是由基本作图组成的,同学扪要高度重视,努力把这部分内容学习好通过这一节的学习,同学们要掌握下列作图语言:(1)过点和点画射线,或画射线(2)在射线上截取(3)以点为圆心,为半径画弧(4)以点为圆心,为半径画弧,交于点(5)分别以点,点为圆心,以,为半径作弧,两弧相交于点(6)在射线上依次截取(7)在的外部或内部画注意: 学过基本作图后, 在作较复杂图时, 属于
6、基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了如: (1)画线段(2)画(3)画平分,或画的角平分线(4)过点画,垂足为点(5)作线段的垂直平分线,等等但要注意保留全部的作图痕迹, 包括基本作图的操作程序, 不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作,只有保留作图痕迹,才能反映出作图的操作是否合理【经典例题精讲】例 1 已知两边及其夹角,求作三角形如图 24-4-7,已知:,线段 a、 b,求作: ABC ,使 A , AB a,AC b作法:作MAN 在射线 AM 、 AN 上分别作线段AB a, AC b连结 BC 如图 24-4-8, ABC 即为所求作的三角形注意:
7、 一般几何作图题,应有下面几个步骤:已知、求作、作法,比较复杂的作图题,在作图之前可根据需要作一些分析例 2 如图 24-4-9 ,已知底边a,底边上的高h,求作等腰三角形已知线段 a、 h求作: ABC ,使 AB AC ,且 BC a,高 AD h分析: 可先作出底边BC ,根据等腰三角形的三线合一的性质,可再作出分线,从而作出BC 边上的高AD ,分别连结AB 和 AC ,即可作出等腰作法: (1)作线段 BC a(2)作线段 BC 的垂直平分线MN ,MN 与 BC 交于点 D(3)在 MN 上截取 DA ,使 DA hABCBC 的垂直平来(4)连结 AB 、AC 如图 24-4-1
8、0, ABC 即为所求的等腰三角形例 3 已知三角形的一边及这边上的中线和高,作三角形如图 24-4-11,已知线段a, m, h(mh) 求作: ABC 使它的一边等于a,这边上的中线和高分别等于m 和 h(mh) 分析: 如图 24-4-12,假定 ABC 已作出,其中 AED 中 AD m,AE h, AED 90,因此这个BC a,中线 AD m,高 AE h,在 Rt AED 可以作出来 ( AED 为奠基三角形 )当 Rt AED 作出后,由的关系可作出点B 和点 C,于是 ABC 即可得到作法: (1)作 AED ,使 AED 90, AE h, AD m(2)延长 ED 到 B
9、 ,使(3)在 DE 或 BE 的延长线上取(4)连结 AB 、AC 则 ABC 即为所求作的三角形注意: 因为三角形中,一边上的高不能大于这边上的中线,所以如果hm,作图题无解;若 m h,则作出的图形为等腰三角形例 4 如图 24-4-13,已知线段a求作:菱形ABCD ,使其半周长为a,两邻角之比为1 2分析: 因为菱形四边相等,“半周长为a”就是菱形边长为,为此首先要将线段a 等分,又因为菱形对边平行,则同旁内角互补,由“邻角之比为1 2”可知,菱形较小内角为 60,则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形,则得到的四边形即为所求的菱形A
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