整理好的平面直角坐标系找规律解析.docx
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1、平面直角坐标系找规律题型解析1、如图,正方形 ABCD的顶点分别为 A(1,1) B(1 , -1) C(-1 ,-1) D(-1 , 1) ,y 轴上有一点 P(0,2) 。作点 P 关于点 A 的对称点 p1,作 p1 关于点 B的对称点 p2,作点 p2 关于点 C 的对称点 p3,作 p3 关于点 D的对称点 p4,作点 p4 关于点 A 的对称点 p5,作 p5 关于点 B 的对称点 p6,按如此操作下去,则点 p2011 的坐标是多少?解法 1:对称点 P1、P2、 P3、P4 每 4 个点,图形为一个循环周期。设每个周期均由点P1, P2,P3,P4 组成。第 1 周期点的坐标为
2、: P1(2,0) ,P2(0,-2) ,P3(-2,0) ,P4(0,2)第 2 周期点的坐标为: P1(2,0) ,P2(0,-2) ,P3(-2,0) ,P4(0,2)第 3 周期点的坐标为: P1(2,0) ,P2(0,-2) ,P3(-2,0) ,P4(0,2)第 n 周期点的坐标为: P1(2,0) ,P2(0,-2) ,P3(-2,0) ,P4(0,2)20114=5023,所以点 P2011的坐标与 P3坐标相同,为( 2,0)解法 2:根据题意, P1(2,0) P2 (0, 2) P3( 2,0) P4 (0,2)。根据 p1-pn 每四个一循环的规律,可以得出:P4n(
3、0,2), P4n+1( 2,0), P4n+2(0, 2), P4n+3( 2, 0)。20114=5023,所以点 P2011的坐标与 P3坐标相同,为( 2,0)总结:此题是循环问题,关键是找出每几个一循环,及循环的起始点。此题是每四个点一循环,起始点是p 点。2、在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1 个单位其行走路线如下图所示y1A2A5A6A9A101AOA3A4A81112xA7AA(1)填写下列各点的坐标: A4(,),A8(,),A10(,),A12();(2)写出点 A4n的坐标( n 是正整数);(3 )按此移动规律
4、,若点Am在 x 轴上,请用含 n 的代数式表示 m( n 是正整数)(4)指出蚂蚁从点A2011 到点 A2012的移动方向(5)指出蚂蚁从点A100到点 A101 的移动方向( 6)指出 A106,A201 的的坐标及方向。解法:( 1)由图可知, A4, A12,A8 都在 x 轴上,小蚂蚁每次移动1 个单位,OA4=2,OA8=4,OA12=6, A4(2,0), A8(4,0), A12( 6, 0);同理可得出: A10(5,1)( 2)根据( 1)OA4n=4n2=2n,点 A4n 的坐标( 2n,0);( 3)只有下标为 4 的倍数或比 4n 小 1 的数在 x 轴上,点 Am
5、在 x 轴上,用含 n 的代数式表示为: m=4n或 m=4n-1;( 4) 20114=5023,从点 A2011到点 A2012 的移动方向与从点A3 到 A4 的方向一致,为向右( 5)点 A100中的 n 正好是 4 的倍数,所以点 A100 和 A101 的坐标分别是 A100(50,0)和 A101(50,1),所以蚂蚁从点 A100到 A101的移动方向是从下向上。( 6)方法 1:点 A1、 A2、A3、A4 每 4 个点,图形为一个循环周期。设每个周期均由点A1, A2,A3,A4 组成。第 1 周期点的坐标为: A1(0,1), A2(1,1), A3(1,0), A4(2
6、,0)第 2 周期点的坐标为: A1(2,1), A2(3,1), A3(3,0), A4(4,0)第 3 周期点的坐标为: A1(4,1), A2(5,1), A3(5,0), A4(6,0)第 n 周期点的坐标为: A1(2n-2,1) ,A2(2n-1,1) ,A3(2n-1,0) ,A4(2n,0)1064=262,所以点 A106坐标与第 27 周期点 A2坐标相同 ,(2 27-1,1) ,即 (53,1) 方向朝下。2014=501,所以点 A201 坐标与第 51 周期点 A1 坐标相同 ,(2 51-2,1) ,即 (100,1)方向朝右。方法 2:由图示可知,在 x 轴上的
7、点 A 的下标为奇数时,箭头朝下,下标为偶数时,箭头朝上。 106=104+2,即点 A104 再移动两个单位后到达点 A106, A104的坐标为( 52, 0)且移动的方向朝上,所以 A106 的坐标为( 53,1),方向朝下。同理: 201=200+1,即点 A200再移动一个单位后到达点 A201, A200的坐标为( 100,0)且移动的方向朝上,所以 A201 的坐标为( 100,1),方向朝右。3、一只跳蚤在第一象限及x 轴、 y 轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0 ,1) ,然后接着按图中箭头所示方向跳动 即(0 , 0) (0 ,1)(1 ,1)( 1,0) ,且每秒跳
8、动一个单位,那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是多少?第 42、49、2011 秒所在点的坐标及方向?解法 1:到达( 1,1)点需要 2 秒到达( 2,2)点需要 2+4 秒到达( 3,3)点需要 2+4+6 秒到达( n,n)点需要 2+4+6+.+2n秒 n(n+1) 秒当横坐标为奇数时,箭头朝下,再指向右,当横坐标为偶数时,箭头朝上,再指向左。35=56+5,所以第 5*6=30 秒在( 5,5)处,此后要指向下方,再过5 秒正好到( 5,0 )即第 35 秒在( 5,0)处,方向向右。42=67,所以第 67=42 秒在( 6,6)处,方向向左49=67+7,所以第 6 7=42
9、秒在(6,6)处,再向左移动 6 秒,向上移动一秒到( 0,7)即第 49 秒在( 0,7)处,方向向右解法 2:根据图形可以找到如下规律,当2秒处在( 0,n)处,且方向指向n 为奇数是 n2秒处在( n, 0)处,且方向指向上。右; 当 n 为偶数时 n26,0)倒退一秒到达所得点的坐标为(5, 0),即第 35秒处的坐标为35=6 -1 ,即点(5,0)方向向右。用同样的方法可以得到第42、 49、2011 处的坐标及方向。4、如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x 轴或y 轴平行从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,顶点依次用A1,A2,A3,A4,表示,顶点A55的坐标是
10、()解法 1:观察图象,每四个点一圈进行循环,根据点的脚标与坐标寻找规律。观察图象,点 A1、A2、 A3、A4 每 4 个点,图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1, A2,A3,A4 组成。第 1 周期点的坐标为: A1(-1,-1), A2(-1,1), A3(1,1), A4(1,-1)第 2 周期点的坐标为: A1(-2,-2), A2(-2,2), A3(2,2), A4(2,-2)第 3 周期点的坐标为: A1(-3,-3), A2(-3,3), A3(3,3), A4(3,-3)第 n 周期点的坐标为: A1(-n,-n), A2(-n,n), A3(n,n), A4(n,
11、-n)554=13 3, A55 坐标与第 14 周期点 A3 坐标相同 ,(14,14) ,在同一象限解法 2: 55=413+3, A55与 A3 在同一象限,即都在第一象限,根据题中图形中的规律可得:3=4 1-1 , A3 的坐标为( 1,1),7=4 2-1 ,A7 的坐标为( 2,2),11=4 3-1 ,A11 的坐标为( 3,3);55=414-1 ,A55( 14,14)5、在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:( 1) f (m,n)=(m, n),如 f ( 2, 1)=(2, 1);( 2) g(m,n)=( m, n),如 g(2,1) =
12、( 2, 1)按照以上变换有: fg (3,4)=f( 3, 4)=( 3,4),那么 gf ( 3,2) 等于()解: f ( 3,2)=( 3, 2), gf ( 3,2)=g ( 3, 2)=(3,2),6、在平面直角坐标系中,对于平面内任一点( a,b),若规定以下三种变换:1、f (a,b)=( a, b)如: f (1,3)=( 1,3);2、g(a,b)=(b,a)如: g(1,3)=(3,1);3、h(a,b)=( a, b)如: h( 1, 3) =( 1, 3)按照以上变换有: f(g(2,3)=f(-3,2)=(3,2) ,那么 f(h(5,-3)等于()( 5,3)7、
13、一质点 P 从距原点 1 个单位的 M点处向原点方向跳动, 第一次跳动到 OM的中点 M3处,第二次从 M3跳到 OM3的中点 M2处,第三次从点 M2跳到 OM2的中点 M1处,如此不断跳动下去,则第 n 次跳动后,该质点到原点O的距离为()解:由于 OM=1,所有第一次跳动到OM的中点 M3处时, OM3=OM= , 同理第二次从 M3点跳动到 M2处,即在离原点的2 处,同理跳动 n 次后,即跳到了离原点的处8、如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“”方向排列,如( 1,0),( 2,0),( 2,1),( 1, 1),( 1,2),( 2, 2)根据这个
14、规律,第 2012 个点的横坐标为() 45 解:根据图形,以最外边的矩形边长上的点为准,点的总个数等于x 轴上横坐标的平方,例如:右下角的点的横坐标为 1,共有 1 个, 1=12,右下角的点的横坐标为2时,共有 4 个, 4=22,右下角的点的横坐标为3时,共有 9 个, 9=32,右下角的点的横坐标为4时,共有 16个, 16=42,右下角的点的横坐标为n 时,共有 n2个,452=2025,45 是奇数,第 2025 个点是( 45, 0),第 2012 个点是( 45,13),9、( 2007?遂宁)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“”方向排列,如( 1,0),
15、( 2,0),( 2,1),( 3, 2),( 3,1),( 3, 0)根据这个规律探究可得,第 88 个点的坐标为 ( ) 解:由图形可知:点的横坐标是偶数时,箭头朝上,点的横坐标是奇数时,箭头朝下。坐标系中的点有规律的按列排列, 第 1 列有 1 个点,第 2 列有 2 个点,第 3 列有 3 个点第 n 列有 n 个点。1+2+3+4+12=78,第 78 个点在第 12 列上,箭头常上。 88=78+10,从第 78 个点开始再经过 10 个点,就是第 88 个点的坐标在第 13 列上,坐标为( 13,13-10 ),即第 88 个点的坐标是( 13,3)10、如图,已知Al ( 1,
16、 0), A2( 1, 1), A3( 1,1), A4( 1, 1), A5(2,1),则点 A2007的坐标为()解法 1:观察图象,点A1、A2、 A3、A4 每 4 个点,图形为一个循环周期。设每个周期均由点 A1, A2,A3,A4 组成。第 1周期点的坐标为: A1(1,0),A2(1,1), A3(-1,1), A4(-1,-1)第 2周期点的坐标为: A1(2,-1),A2(2,2), A3(-2,2), A4(-2,-2)第 3周期点的坐标为: A1(3,-2),A2(3,3), A3(-3,3), A4(-3,-3)第 n 周期点的坐标为: A1(n,-(n-1), A2(
17、n,n), A3(-n,n), A4(-n,-n)因为 20074=501 3,所以 A2007的坐标与第 502 周期的点 A3的坐标相同,即 (-502,502) 解法 2:由图形以可知各个点 (除 A1 点和第四象限内的点外) 都位于象限的角平分线上,位于第一象限点的坐标依次为A2(1,1) A6 ( 2,2) A10 (3,3)A4n2(n,n)。因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2,6,10, 14,即 4n2(n 是自然数,n 是点的横坐标的绝对值);同理第二象限内点的下标是4n1(n 是自然数, n 是点的横坐标的绝对值);第三象限是 4n( n 是自然数, n 是点的横
18、坐标的绝对值);第四象限是 1+4n(n 是自然数, n 是点的横坐标的绝对值);因为 20074=501 3,所以 A2007位于第二象限。 2007=4n1 则 n=502,故点 A2007在第二象限的角平分线上,即坐标为(502, 502)11、如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3 米到达 A1 点,再向正北方向走6 米到达 A2 点,再向正西方向走9 米到达 A3点,再向正南方向走12 米到达 A4 点,再向正东方向走 15 米到达 A5 点、按如此规律走下去,当机器人走到A6,A108 点 D 的坐标各是多少。解法 1:观察图象,点A1、A2、A3、A4 每 4 个点,图形为一
19、个循环周期。设每个周期均由点A1, A2,A3,A4 组成。第 1周期点的坐标为: A1(3,0),A2(3,6), A3(-6,6), A4(-6,-6)第 2周期点的坐标为: A1(9,-6),A2(9,12), A3(-12,12), A4(-12,-12)第 3周期点的坐标为: A1(15,-12),A2(15,18), A3(-18,18), A4(-18,-18)第 n 周期点的坐标为: A1(6n-3,-(6n-6),A2(6n-3,6n) , A3(-6n,6n), A4(-6n,-6n)因为 64=12,所以 A6 的坐标,与第 2 周期的点 A2的坐标相同,即 (9,12)
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