2014高考直通车高考二轮攻略30讲.docx
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1、2014高考直通车高考二轮攻略30讲第15讲平面向量的基本性质与运算【课前诊断】1.已知平面向量 a=(1,2), b=(-2, m),且 a/b,则 2a+3b =.解析 由 a = (1,2), b= (- 2, m),且 a / b,得 1 x m = 2x ( 2)? m= 4,从而 b =(2, 4),那么 2a+3b=2(1,2) + 3(2, 4)=(4, 8).答案(一4, - 8)2.已知平面上三点A、B、C 满足 |AB|=3, |BC|=4, |CA|=5,则 AB bc+bc ca+caAB的值等于解析 ,ABF 3, |BC|=4, |CA|=5,|CA|2= |AB
2、|2+|BC|2,故 / B=90.则有 AB BC =0.由BC Ca= |BC|CA|cos(兀一C) = 4X 5X (-4)=- 16,CA aB = |CA|aB|cos(lA)= 5X 3X(-3) = - 9,5则原式=0+(16) + ( 9) = 25.答案 -253 .若|a|=|b|,则a=b或a=b;若AB=DC,则A, B, C, D是一个平行四边形的四个顶点;若a= b, b= c,则a= c;若a / b, b / c,则a / c.其中真命题的序号为 .解析 由|a|= |b|可知向量a, b模长相等但不能确定向量的方向,如在正方形ABCD中,|aB|=|AD|
3、,但|aB|与|AD|既不相等也不互为相反向量,故此命题错误由Afe=Dt可得|AB|=|DCe.AB/DC,由于A6/Dt可能是 A, B, c, d在同一条直线上,故此命题不正确.正确.= a = b,a, b的长度相等且方向相同;又b=c,,b, c的长度相等且方向相同,a, c的长度相等且方向相同,故 a=c.不正确.当b=0时,all c不一定成立.综上所述,正确命题的序号是.答案 (南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试,11)4 .如图,在等腰三角形 abc中,底边bc=2, aD = DC, Ae=2eB,若BD AC = 一;则 ce -AB=.解析:(解法 1)由已知
4、AD=DC,则 D 为 AC 中点,bD=|(bc-A6),ac=BC+a6.bD ac =2即2(BC AB) (bC + AB) = 2,故 AB2BC2=1.又 BC=2,所以 AB = AC=V5, cosA=5:574 = 3,所以CE AB= (AEAC) AB= 1AB - AC AB = _ AC AB+1AB2=5_ 5噂=_ 2 0, b0, O 为坐标原点,若C三点共线,则2的最小值是 .a b解析 据已知 AB/AC,又AB=(a1,1),12 2ab 4a 2b-a+b=丁当且仅当b=4a, a=1a b 4AC=(-b-1,2), 2(a-1)-(-b-1)=0,
5、.-2a+b= 1,=4+ b+4a4+2A/b 4a=8, a b. a bb=1时取等号,1 2.a+b的最小值是8.【例题探究】(2009 江苏)设向量 a=(4cos % sin % b= (sin 氏 4cos 3), c= (cos 3, 4sin 3).(1)若a与b 2c垂直,求tan(a+ 3)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若 tan atan 3= 16,求证:a / b.(1)解由a与b 2c垂直,得 a (b 2c) = a b 2a c= 0,即 4sin( a+ 份8cos(a+ 3=0, tan( a+ 3 = 2.(2)解|b+c|2=(b+c)2=b
6、2+c2+2bc= sin2时 16cos2 时 cos2计 16sin2 时2(sin但os316sin 3cos 份= 17 30sin 因os 3= 1715sin 2 3,最大值为32,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由 tan otan 3= 16,得 sin osin 3= 16cos ocos &即 4 cos a4cos 3 sin osin 3=。,故 a/ b.(通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三 )在 ABC 中,已知 AB AC 9, sin B cosA sinC , S ABC 6, P 为线段 AB 上的点, 且CP = x |CF+y
7、 唠,则xy的最大值为|CA| ICBI试题分析!由AB- AC = 9得此, cof W = 9 ;又以方=co*得力-c-cosA ;又邑四0 = 6得1_34 be - sin j4 = 6 ?由上述二式可解福5 = 3rc = 5,= - ?sin A =由余弦定理得255/二才十与-2武3算5工;二16避=4,可见人430是直角三角形,,以C为坐标原点,Ck CB分别为L uurCPuurCA X -UUH- |CA|uuuCB-uuu-|CB|x(1,0) y(0,1) (x,y),故P(x,y),而 P 在直线 AB 上,又1AB:3 4 1,所以2 七 1(x答案 30,y 0
8、),根据基本不等式- y3 4解:如图,正 ABC的边长为15uuuAP1 uuu -AB 32uiur -AC 5uuirBQ1 uurAB 52 uuir -AC .5求证:四边形 APQB为梯形;求梯形APQB的面积.uur uu uur uur 1 uuu因 PQ PA AB BQ = 1 AB32 uur -AC5uuuAB1 uuu -AB 52 uur 13 uur -AC = AB ,15uur故PQ HuuuAB ,uur且 |PQ|=13,uur|AB |=15,uur uuu| PQ|w|AB|,于是四边形AAPQB为梯形.设直线边上高的LuuuPQ交AC于点M,则AM2
9、 turn-AC ,故梯形 APQB的高h为正 ABC的AB 55,即h f与15 3技求轴y轴建立平面直角坐标系,则与二(之。).丽=(0,4) , l = (1阳,一=(CU).则1一 一从而,梯形 APQB的面积为-(13 15) 373 42百.冲刺强化练习(15)1 .设向量 a= (cos a, sin a), b = (cos & sin 3),其中 0 a 华国 若 |2a+b|= |a 2b|,则 3a等于解析 由 |2a+b|=|a 2b| 得 3|a|2- 3|b|2+8a b = 0,而 |a|= |b|=1,故 a b=0,即 cos( a-)一 I 一 _一一,_兀
10、 II 一兀=0,由于0 a华兀,故一兀 ”一次0,故 a 片一 2,即 3 a= 2,答案22 . (2012镇江调研)若平面内两个非零向量 3满足|冈=1,且a与3 a的夹角为135,则|o|的取值范围为解析 如图,在 OAB中,设OA= a, OB= &则茹=3-”,由题意得I丽|=1, / OAB = 45。,由正弦定理,得 号Oba =焉=所以=g所/OBA,又0Z OBA135,所以 |o|C (0, #.答案 (0,例3 .已知向量 a=(cos10 ; sin10 ), b= (cos70 ; sin70 ),贝U |a-2b|=. 1 解析|a|= |b|= 1, a b=
11、cos10 cos70 + sin10 sin70 = cos(10 70 )= cos60 =-,|a 2b|=a2 4a b+ 4b2 = g答案 ,354 .已知向量 a=(1,2), b=(-2, 4), |c|=乖,若(a+b) c=Q,则 a与 c 的夹角为 .解析 由条件知 同=寸5, |3=2或,a+b = (1, 2), |a+b|=弧 (a+b) c= |,一 一 5,班又乖cos0= 2其中。为a+b与c的夹角,0= 60 .= a+b= a,,a+b与a方向相反,a与c的夹角为120.答案 1205 . (2009 南京模拟)已知 |OA|=2, |OB|=2,3, O
12、A - Ofe = 0,点 C 在线段 AB 上,且/ AOC = 60,贝UAB - OC 的值是.答案 46 .设两个向量 e1、e2满足|e1|=2, |e2|=1, e1、e2的夹角为60,若向量 2te1 + 7e2与向量e1+ te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 .1,斛析 e1 e2= |e11 |e2| cos 60 = 2x 1 x 2= 1,(2te +7e2) (e1 + te2)=2te2+7te2+ (2t2+7)e1 e2 = 8t+7t+ 2t2+7= 2t2+ 15t+ 7.1由已知得 2t2 + 15t+70,解得一7t 2.当向量2te1+7a与向量e
13、1 + te2反向时,设 2te1 + 7e2= 4e+te2), K0,则:=;? 2t2= 7? t=乎或 1=乎(舍).故t的取值范围为(一7,华)U (一挈一 1).答案(-7,一唱u (一华一27 . (2012启东模拟)若等边三角形 ABC的边长为243,平面内一点M满足cM=1cB + 2cA,63则 mA mB=.解析 建立直角坐标,由题意,设C(0,0), A(2,3, 0), B(43, 3),则MmaMB=理 _1 理 5 - 2.2,22 2答案 28 .已知向量oB=(2,0),向量O)C=(2,2),向量CA=(、/2cos ”,V2sin 4,则向量亦与向量场 的
14、夹角的取值范围是 .答案兀 512, 12解析 由题意,得:OA= OC+CA = (2+y2cos a, 2 + V2sin% 所以点A的轨迹是圆 (x-2)2+(y-2)2 = 2,如图,当A位于使向量OA与圆相切时,向量 OA与向量OB的夹角 分别达到最大、最小值.9 .关于平面向量a, b, c有下列三个命题:若 ab = ac,则 b=c.若 a=(1, k), b=(-2,6), a / b,则 k=3.非零向量 a 和 b满足忸|= |b|=|a b|,则a与a+b的夹角为60.其中真命题的序号为.解析ab=ac? a(b c) = 0, a与bc可以垂直,而不一定有b= c,故
15、为假命题.; all b,,1X6= 2k.,k=3.故为真命题.由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60。,a+b为其对角线上的向量,a与a+ b夹角为30。,故为假命题.答案10 .已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中 a=(1, 2).(1)若|c|=2/5,且 c/ a,求 c 的坐标;5(2)若|b|=j-,且a+ 2b与2a b垂直,求a与b的夹角.解 (1)设 c= (x, y),由 c/ a 和 c|=2,5可得1y2x= 0x= 2x=222”,,或,x2+y2=20y= 4y= 4 .c= (2, 4)或 c= (2, -4).(2) / (a+2b)(2a- b),
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- 2014 高考 直通车 二轮 攻略 30
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