2009陈文灯考研数学复习指南习题详解(理工)-线代ch.doc
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1、第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是_, 特征向量是_.解. 因为 , 所以对于任意n维向量. 所以|A| = 5是的特征值, 任意n维向量a 为对应的特征向量.2. 三阶方阵A的特征值为1, 1, 2, 则的特征值为_.解. 的特征值为: 3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_.解. 具有相同的特征值., 所以B和A具有相同的特征值. B的特征值为: 2和1(二重).4. 已知矩阵相似, 则x = _, y = _.解. 因为A, B相似, 所以.相似矩阵的迹相等: . 于是.5. 设A, B为n
2、阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = _, 使得.解. 因为, 所以A可逆. 令, 则. 即AB与BA相似. 二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件解. 假设为A的所有特征值, 则. 所以: 0为A的特征值A可逆(C)为答案.2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.解. 为A的二个相异的特征值
3、, 所以存在非零向量, 满足. 而且线性无关. 假设存在 l 满足: 所以 , 即 因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0, . 和矛盾. 所以(C)为答案.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B) (C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组的基础解系为, 所以方程组的全部解为(为任意常数). 但特征向量不能为零, 则A的属于的全部特征向量是: (为不全为零的任意常数), (D)为答案.4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性
4、无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量解. (B)是答案.5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A解. 令. 所以. 所以(C)是答案.6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得解. , 则存在可逆方阵P, 使得. 所以 所以的有相同的特征方程, (B)是答案.三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.解. 当 时, . 所以t为任意实数.i. 时
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