(精编)小升初数学专项训练+典型例题分析-工程篇(教师版) 12页.docx
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1、 小升初专项训练 工程篇一、小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题:某项工程,若甲、乙单独去做,甲比乙多用 4 天完成;若甲先做 2 天后,再和乙一起做,则共用 7 天可完成,问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成?答案:设甲、乙两人每人完成该项工程的一半,以题意,甲、乙两人单独完成,甲比乙多用4天,所以每人单独完成一半时,甲比乙多用 2 天。另外,已知甲先做 2 天,然后与乙合作,7 天完成,这就是说,甲、乙共同完成全部工作时(每人做一半),相差刚好 2 天,那么很明显,甲在 7 天中正好完成了工程的一半,而乙在 5 天中也完成了工程的一半。
2、这样,甲单独完成要 14 天,乙单独完成要 10 天。工程问题在历届考试中之所以难,是因为工程问题中比例和单位“ 1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。二、2013 年考点预测13 年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习。三、知识要点在工程问题中,一般要出现三个量:工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)和工作效率(单位时间内完成的工作量)。【基本公式】:这三个量之间有下述一些关系式:工作效率工作时间工作总量;工作总量工作时
3、间工作效率;工作总量工作效率工作时间。为叙述方便,把这三个量简称工量、工时和工效。【规律总结】:不要求记忆,但要求能够理解和运用。(1)工效提高了 a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的 100/(100+a)。时间缩短了 a/(100+a)。(2)工效降低了 a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的 100/(100-a)。时间延长 了 a/(100-a)。(3)工效提高了 a/b, 工作总量不变的前提下,工时则变为原来的 a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。(4)工效降低了 a/b,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的 b /(b-a)。时间延长了a/(b-a)。(5)当
4、出现甲工作了一段时间 a,乙工作了一段时间 b,则通常是把条件处理为甲乙和干了 a(或 b时间)后甲单干(a-b)(或乙单干(b-a)段时间)四、典型例题解析1 涉及二者的工程问题【例 1】()一项工程,甲单独做6天完成,乙单独做12天完成。现两人合作,途中乙因病休息了几天,这样用了 4.5天才完成任务。乙因病休息了几天?【解】:方法一:4.5 天甲完成了 4.56=3/4,乙完成了 1/4,需要(1/4)(1/12)=3天,所以乙休息了 4.5-3=1.5天。1 19)= ,而总工作量只有方法二:假设乙没休息,这样两人4.5天总共完成 4.5(6 121 11,所以多出来的 就是乙休息时间里
5、做的,所以乙休息了 =1.5天。8188 12【答】:乙休息了 1.5天。【例 2】()有 240个零件,平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务,因此在甲车间开始加工了 4小时之后才开始加工这批零件,而且比甲车间晚 40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的 3倍,那么甲车间每小时能加工多少个零件?2【解】:40分钟 小时,乙车间一共比甲车间少用了313小时,乙车间的效率是甲车间的3213倍,乙比甲少工作 4 3 小时,但都完成了 120个零件。如果乙和甲的时间是一样331的话,那么乙就会多完成 240个零件,也就是说乙在 3 小时内可做 240个零件,所以乙每31小时完成的零件个数
6、为 2403 72个,甲每小时完成 72324个零件。3【答】:甲每小时能加工 24个零件。2涉及三者的工程问题 【例 3】()一项工程,甲队单独做 24 天完成,乙队单独做 30 天完成。现在甲、乙两队先合做 8 天,剩下的由丙队单独做了 6 天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做,需要几天?【解】:方法一:设工作总量为24,30120 单位,则甲队每天完成 24024=5 单位,乙队每天完成 24030=4 单位。前 8 天,甲、乙两队共完成(54)872 单位,则丙 6天完成 1207248 单位,丙每天完成 4868 单位。那么,如果从开始就让丙队单独做,需要 120815 天。方
7、法二:甲工作效率为 1/24,乙的工作效率为 1/30,这样甲乙合作 8 天完成的工作量为(1/24+1/30)8=9/15,所以剩下的 1-9/15=6/15 由丙做 6 天,所以丙的工作效率为 6/156=1/15,所以丙要做 15 天。【答】:如果从开始让丙队独做,需要 15 天。【例 4】()某工程由甲、乙两个工程队合作需要12 天完成。甲工程队工作3 天后离开,同时乙、丙两个工程队加入,又工作了 3 天后,乙工程队离开,此时刚好完成工程的一半,那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成,还需要几天?【解】:可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了 3 天,干完了工程的一半。因为甲乙合作需要 1
8、2 天完成,所以甲乙两队合作 3 天共完成了全部工程的。可以算出丙队 3 天完3112 4成的工作量是。则剩下的一半工程,丙队需要独做 6 天才能完成。1 1 12 4 4【答】:还需要 6 天。【例 5】()马师傅和张师傅合伙加工一批零件,原计划马师傅每天比张师傅多加工8 个零件,共用了 15 天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率,叫了一个徒弟从一开始就来帮忙,结果师徒俩每天反比马师傅还多加工 4 个零件,这样用了 12 天就完成了,那么马师傅每天加工多少个零件?【解】:由题意知徒弟每天加工零件 8412 个。设工作总量为12,1560 份,这样原来张、马二人的工效之和为 6015=4 份,现
9、在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为 6012=5 份,相差 1 份,表明 1 份为 12 个零件。原来两位师傅每天一共加工零件 12448 个,马师傅又比张师傅每天多 8 个,则他每天加工(488)228 个。【答】:马师傅每天加工 28 个零件。【例 6】()有甲、乙、丙三组工人,甲组 4 人的工作,乙组需要 5 人来完成;乙组的 3 人工作,丙组需要 8 人来完成。一项工作,需要甲组 13 人来完成,乙组 15 人 3 天来完成。如果让丙组 10 人去做,需要多少天来完成?【解】:设甲组每人每天的工作量为 1,则乙组每人每天的工作量为 4/5,丙组每人每天的工作量为:4/53/8=3/1
10、0。这项工作的总工作量为:(113+4/515)3=75丙组 10 人需要干:753/1010=25(天)。 3涉及多者的工程问题【例 7】()一项工程,45人可以若干天完成。现在 45人工作 6天后,调走 9人干其他工作。这样,完成这项工程就比原来计划多用了 4天。原计划完成这项工程用多少天?【解】:前6天的工作可看作是按原计划进行,设原计划还需要a 天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的 45-9 = 36人进行相差 4天,表明 36人最后 4天的量相当于调走的那9个人 a 天的工作量。则a 为 364916天。原计划用 16420天。【答】:原计划用 20天完成。【例 8】()A、B、
11、C、D、E五个人干一项工作,若 A、B、C、D四人一起干需要 6天完成;若四人干,需要 8天完工;若 A、E两人一起干,需要 12天完 工。那么,若 E一人单独干需要几天完工?【解】:可设工作总量为6,8,1224单位,则 A、B、C、D四人每天完成 4单位,B、C、D、E四人完成 3单位,表明A每天比 E多做 1单位;由题意又可知A、E两人一天完成 2单位,则 A每天完成(21)21.5单位,E每天完成(21)20.5单位。那么,如果由 E一人单独做需要 240.548天。【答】:如果由 E一人单独做需要 48天。【例 9】()某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12天都能完成;如果由第一
12、、三、五小队合干需要 7 天完成;如果由第二、四、五小队合干需要 8 天都能完成;如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程?【思路】:我们注意到,在题目中二、四、五每支队都恰出现两次,一、三两支小队恰出现三次,因此题目中四种方式的效率总和为 5 个小队效率和的 2 倍再加上一、三两支小队的效率和因此,再加上一个二、四、五 3 支小队效率和,得到的结果就应该是 5 个小队效率的 3倍【解】:通过条件,我们有以下公式:(一二三四五)3=(一二三)+(一三五)+(二四五)2+(一三四)所以,5支小队效率和为:1 1 1( + + 2 + ) 3
13、=12 7 8 421164水箱注水的工程问题【例 10】()水池安装 A、B、C、D、E五根水管,有的专门放水,有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作,注满一池水所用时间如下表所示:A,BC,DE,AD,EB,C2610315 如果选用一根水管注水,要尽快把空池注满,问应选用哪根水管?答:D。提示:由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得 BE,比较第一列与第五列得 AC,比较第二列与第五列得 DB,比较第二列与第四列得 EC,比较第三列与第四列得 DA。【例 11】()有甲、乙两根水管,分别同时给两个大小相同的水池A和 B注水,在相1同时间内甲、乙两管注水量之比 7:5。
14、经过2 时,A、B 两池中已注入水之和恰好是一池3水。此后,甲管的注水速度提高25,乙管的注水速度降低 30。当甲管注满 A池时,乙管还需多长时间注满 B池?1【解】:因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7:5不变,所以经过2 恰好是一池水时,375甲乙水管分别注入一池水的、12 12。如果注水速度不变,那么注满一池水甲、乙管分别还需注水速度变化后,注满一池水甲、乙水管分别还需所以,当甲水管注满 A池时,乙水管注满 B池还需5 较复杂的工程问题【例 12】()一项工程,乙单独做需要 17天完成;如果第一天由甲作,第二天乙做,这样交替轮流做,那么恰好整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,这校交替
15、轮流做,那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成?来源:人大附测试题【解】:如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天,说明甲先时,完成的天数一定是奇数。于是可表示为:竖线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做一天等于甲做半天,乙做17天相当于甲做 8.5天。【例 13】()有甲乙两个工程,现分别由A、B 两个施工队完成。在晴天A 队完成工程需要 8 天,B 队完成工程需要 12 天,在雨天,A 施工队的工作效率下降 60,B 施工队的工作效率下降 20。最后两个施工队同时完成这两项工程,问
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