【WORD格式论文原稿】常微分方程初值问题的欧拉方法及其改进的欧拉方法.doc
《【WORD格式论文原稿】常微分方程初值问题的欧拉方法及其改进的欧拉方法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【WORD格式论文原稿】常微分方程初值问题的欧拉方法及其改进的欧拉方法.doc(6页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、免费查阅标准与论文:http:/ Matlab 实现纪秀浩 辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新(123000) E-mail:摘要:欧拉(Euler)方法及改进的欧拉方法是解决常微分方程初值问题常用的数值解法, 但 Matlab 的工具箱中没有 Euler 方法的功能函数。本文在简要介绍 Euler 方法及其改进的 Euler 方法的基础上,通过编写 Matlab 程序实现两种数值解法,并通过作图形式对比其精度,加深对两种方法的认识。关键词:欧拉方法;改进的欧拉方法;matlab 实现1引言常微分方程是解决工程实例的常用的工具1,建立微分方程只是解决问题的第一步,通 常需要求出方程的解来说明实际
2、现象,并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分 析和应用的,但是我们知道,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法,但解析方法只能 用来求解一些特殊类型的方程,实际问题终归结出来的微分方程主要靠数值解法2。数值解 法就是一个十分重要的手段,而欧拉方法又是数值解法最基础最常用的方法。2. 欧拉方法、改进的欧拉方法及 Matlab 实现下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题,其一般形式为:-6- y =f ( x, y)(1) y( x0 ) = y0我们知道,只要函数 f ( x, y) 适当光滑譬如关于 y 满足利普希茨(Lipschitz)条件f ( x, y) f ( x, y) L y
3、 y理论上就可以保证初值问题(1)的解 y = y( x) 存在并且唯一3。所谓数值解 法,就 是求 问题 (1) 在某些离散 点 a = x0 x1 xN = b 的近似值 y0 , y1 , y2 , yN 的方法。 y0 , y1 , y2 , yN 就称为问题(1)的数值解。 hn = xn +1 xn 成为 xn 到xn 的步长,我们为了方便取为常量 h 。2.1. 欧拉方法2.1.1 欧拉方法y( xn+1 ) y( xn )将微分方程离散化,用向前差商代替微分 y ( x ) ,代入(1)中的微分方hn程,可得化简可得y( xn+1 ) y( xn ) =hf ( xn , y(
4、 xn )(n = 1, 2, 3,)y( xn +1 ) = y( xn ) + f ( xn , y( xn )h(n = 1, 2, 3,)如果用 yn 近似 y( xn ) 代入上式便可得到 y( xn+1 ) 的近似值 yn+1 ,计算式为:yn+1 = yn + f ( xn , yn )h(n = 1, 2, 3,)(2)这样问题(1)的近似解可通过求解下面的差分初值问题: y0 yn+1 = yn + f ( xn , yn )h= y(a)得到,按(3)式由初值 y0 可逐次求出 y1 , y2 , 。(n = 1, 2, 3,)(3)Eule 方法就是用差分方程初值问题(3
5、)的解来近似微分方程初值问题(1)的解。即由公式(3)算出 y( xn ) 的近似值。这组公式求问题(1)的数值解就是著名的欧拉(Euler)公式。2.1.2 欧拉方法的误差估计对于Euler公式(3)我们看到,当 n = 1, 2, 时公式右端的 yn 都是近似的,所以用它计算的 yn+1 会有累积误差,分析累积误差比较复杂,这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。 假定用(3)式时右端的 yn 没有误差,即 yn = y( xn ) 那么由此算出yn+1 = y( xn ) + f ( xn , y( xn )h(4)局部截断误差指的是,按(4)式计算由 xn 到 xn+1 这一步的计算值
6、yn+1 与精确值 y( xn+1 ) 之差y( xn+1 ) yn+1 。为了估计它,由Taylor展开得到的精确值 y( xn+1 ) 是n2n+1 n ny( x) = y( x ) + hy ( x ) + h2y ( x ) + O(h3 )(5)(4)、(5)两式相减(注意到 y =f ( x, y) )得2h 3 2y( xn+1 ) yn+1 =2 y ( xn ) + O(h) O(h )(6)即局部截断误差是 h2 阶的,而数值算法的精度定义为:若一种算法的局部截断误差为O(h p +1 ) ,则称该算法具有 p 阶精度。显然 p 越大,方法的精度越高。式(6)说明,Eul
7、er方法是一阶方法,因此它的精度不高。2.2 改进的欧拉方法2.2.1 改进的欧拉方法 用数值积分方法离散化问题(1),两端积分可得xn+1ny( xn +1 ) y( xn ) = xf ( x, y( x)dx(n = 0,1, 2,)对右端积分使用梯形公式可得,xn+1hnx2f ( x, y( x)dx f ( xn , y( xn ) + f ( xn+1 , y( xn+1 )再用 yn , yn+1 代替 y( xn ), y( xn +1 ) ,则得计算公式y= y + hf xy+ f xy(7)n+1n ( n ,2n )(n+1 ,n+1 )很明显可以注意到(7)式为隐式
8、形式。改进的欧拉方法是先用欧拉公式求 y( xn+1 ) 的一个近似值 yn +1 ,称为预测值,然后用梯 形公式进行矫正并求得近似值 yn+1 。即 yn+1 = yn + f ( xn , yn )hhy= y +f xy+ f xy(8) n+1n ( n ,2n )(n+1 ,n+1 )2.2.2 改进的欧拉方法的误差估计由(7)式可知,y( x) y( x ) h y ( x ) + y ( x)n+1 n 2n n+1h2= hy ( xn ) + 2y ( xn ) +h323! y ( xn ) h y( x) + y ( x) + hy ( x) + hy ( x) + O(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- WORD格式论文原稿 WORD 格式 论文 原稿 微分方程 初值问题 方法 及其 改进
链接地址:https://www.31doc.com/p-10838767.html