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1、七年级数学竞赛 第十六讲 质数与合数我们知道,每一个自然数都有正因数(因数又称约数)例如,1 有一 个正因数;2,3,5 都有两个正因数,即 1 和其本身;4 有三个正因数:1, 2,4;12 有六个正因数:1,2,3,4,6,12由此可见,自然数的正因 数,有的多,有的少除了 1 以外,每个自然数都至少有两个正因数我 们把只有 1 和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数),把正因数 多于两个的自然数称为合数这样,就把全体自然数分成三类:1,质数 和合数2 是最小的质数,也是唯一的一个既是偶数又是质数的数也就是说, 除了 2 以外,质数都是奇数,小于 100 的质数有如下 25 个:2,
2、3,5,7, 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71, 73,79,83,89,97质数具有许多重要的性质:性质 1 一个大于 1 的正整数 n,它的大于 1 的最小因数一定是质数性质 2 如果 n 是合数,那么 n 的最小质因数 a 一定满足 a2n性质 3 质数有无穷多个(这个性质将在例 6 中证明)性质 4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数 n,必能写成以下形式:这里的 P ,P ,P 是质数,a ,a ,a 是自然数如果不考虑1 2 r 1 2p ,P ,P 的次序,那么这种形式是唯一的r12r关于质数和合数的问题很多,著名
3、的哥德巴赫猜想就是其中之一哥 德巴赫猜想是:每一个大于 2 的偶数都能写成两个质数的和这是至今还 没有解决的难题,我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的 结果,他证明了任何大于 2 的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合 数的和,而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的 1+2)下面我们 举些例子例 1 设 p,q,r 都是质数,并且p+q=r,pq求 p解 由于 r=p+q,所以 r 不是最小的质数,从而 r 是奇数,所以 p,q 为一奇一偶因为 pq,故 p 既是质数又是偶数,于是 p=2例 2 设 p(5)是质数,并且 2p+1 也是质数求证:4p+1 是合数1证 由于 p
4、 是大于 3 的质数,故 p 不会是 3k 的形式,从而 p 必定是 3k+1 或 3k+2 的形式,k 是正整数若 p=3k+1,则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数,与题设矛盾所以 p=3k+2,这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k3)是合数例 3 设 n 是大于 1 的正整数,求证:n4+4 是合数证 我们只需把 n4+4 写成两个大于 1 的整数的乘积即可n4+4=n4+4n2+4-4n2(n2+2)2-4n2(n2-2n+2)(n2+2n+2),因为n2+2n2n2-2n+2=(n-1)2+11,所以 n4+4 是合数例 4 是否存在连续 88 个自然数都是合数
5、?解 我们用 n!表示 123n.令a=12389=89!,那么,如下连续 88 个自然数都是合数:a+2,a+3,a+4,a+89这是因为对某个 2k89,有a+k=k(2(k-1)(k+1)89+1)是两个大于 1 的自然数的乘积说明 由本例可知,对于任意自然数 n,存在连续的 n 个合数,这也 说明相邻的两个素数的差可以任意的大用(a,b)表示自然数 a,b 的最大公约数,如果(a,b)=1,那么 a,b 称为互质(互素)例 5 证明:当 n2 时,n 与 n!之间一定有一个质数证 首先,相邻的两个自然数是互质的这是因为2(a,a-1)=(a,1)1,于是有(n!,n!-1)=1由于不超
6、过 n 的自然数都是 n!的约数,所以不超过 n 的自然数都与 n!-1 互质(否则,n!与 n!-1 不互质),于是 n!-1 的质约数 p 一定大于 n,即 npn!-1n!所以,在 n 与 n!之间一定有一个素数例 6 证明素数有无穷多个证 下面是欧几里得的证法假设只有有限多个质数,设为 p1,p2,pn.考虑 p1p2pn+1,由 假设,p1p2pn+1 是合数,它一定有一个质约数 p显然,p 不同于 p1, p2,pn,这与假设的 p1,p2,pn 为全部质数矛盾例 7 证明:每一个大于 11 的自然数都是两个合数的和证 设 n 是大于 11 的自然数(1)若 n=3k(k4),则n
7、3k=6+3(k-2);(2)若 n=3k+1(k4),则n=3k+1=4+3(k-1);(3)若 n=3k+2(k4),则n=8+3(k-2)因此,不论在哪种情况下,n 都可以表为两个合数的和例 8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数解 三个最小的合数是 4,6,8,它们的和是 18,于是 17 是不能用三 个不同的合数的和表示的奇数下面证明大于等于 19 的奇数 n 都能用三个不同的合数的和来表示由于当 k3 时,4,9,2k 是三个不同的合数,并且 4+9+2k19,所 以只要适当选择 k,就可以使大于等于 19 的奇数 n 都能用 4,9,2k(k=n-13/2) 的和来表示综上所述,不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是 17练习十六1求出所有的质数 p,使 p+10,p+14 都是质数32若 p 是质数,并且 8p2+1 也是质数,求证:8p2-p+2 也是质数3当 m1 时,证明:n4+4m4是合数4 不能写成两个合数之和的最大的自然数是几?5 设 p 和 q 都是大于 3 的质数,求证:24p2-q26 设 x 和 y 是正整数,xy,p 是奇质数,并且求 x+y 的值4
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