高等几何中圆锥曲线结果的初等化.doc
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1、 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 1 高等几何中圆锥曲线结果的初等化蚌埠市奋勇街78号中平小区7-2-9信箱 杨培明 (邮编:233000) 近年来,以高等几何为背景的高考、竞赛试题层出不穷,可以预见,此类问题还将会出现在今后的高考、竞赛中.为探究此类试题的背景,探索其命题方法,进一步丰富中学数学,更好的服务于中学数学教学,有必要把高等几何中与中学数学联系密切的圆锥曲线的结果初等化、系统化. 初等化、系统化的关键是选择寻找合适的切入点,我们从切线方程开始: 1.切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d
2、(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:由ax2+cy2+2dx+2ey+f=02ax+2cy+2d+2e=0=-曲线G在点P处的切线方程为:y-y0=-(x-x0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=ax02+cy02+2dx0+2ey0+f(注意到ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0)ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论1(切点弦方程):从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设
3、M(x1,y1),N(x2,y2),则曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0在点M(x1,y1)处的切线方程为:ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0,由该切线过点P(x0,y0)ax1x0+cy1y0+d(x0+x1)+e(y0+y1)+f=0点M(x1,y1)在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上;同理可得:点N(x2,y2)也在直线ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上切点弦MN的方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论2(切线性质):过定点P(x0,y0)(x02+y020)
4、的直线与二次曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由该直线过点P(x0,y0)asx0+cty0+d(x0+s)+e(y0+t)+f=0点Q的轨迹方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0. 推论3(切点弦性质):过直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上的点Q作曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey
5、+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则:直线MN恒过定点P(x0,y0). 证明:设点Q(s,t),则切点弦MN的方程为:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0,由点Q(s,t)在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+E(y+y0)+f=0上ax0s+cy0t+d(s+x0)+e(t+y0)+f=0直线MN:asx+cty+d(x+s)+e(y+t)+f=0恒过定点P(x0,y0). 切线性质与切点弦性质互为逆命题,高等几何中把形如这样的点线互换的命题称为“对偶命题”.至此我们已初步认识到点P(x0,y0)与直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0
6、的密切关系,点P与直线l是我们下面展开深入讨论的出发点. 定义:点P(x0,y0)称为直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0的极点;直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0称为点P(x0,y0)关于曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0的极线.称点P与直线l有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P在曲线G上时,点P关于曲线G的极线是曲线G在点P处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点
7、. 一个极点对应唯一的一条极线,一条极线对应唯一的一个极点,极点与极线构成一一对应关系.关于圆锥曲线的这种配极对应关系,在高等几何中有深入系统的研究.这里我们关注的是在中学数学,尤其是高考、竞赛中非常有用的性质、定理及其系统. 2.配极原则:如果点P的极线通过点Q,则点Q的极线也通过点P. 配极原则可见文1P180,下面我们给出初等证明. 证明:设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点P、Q关于曲线G的极线方程分别为p:axpx+cypy+d(x+xP)+e(y+yP)+f=0,q:axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=
8、0,则点P的极线通过点QaxpxQ+cypyQ+d(xQ+xP)+e(yQ+yP)+f=0点P(xp,yp)在直线q:axQx+cyQy+d(x+xQ)+e(y+yQ)+f=0上点Q的极线也通过点P. 推论1(1P181):两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 2 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 证明:设两点A、B连线的极点是P,即点P的极线经过点A、B,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点P是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线)(1P181):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A、B均
9、在直线l上,直线l对应的极点为P,由配极原则知点A、B的极线均过点P,即点A、B的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质)若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点. 证明:设P(x0,y0),曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,则点P的极线方程:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0,故可设AB:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+=0,由点P(x0,y0)在直线AB上ax02+cy02+2dx0+2ey0+=0=-(ax02+cy02+2dx0+2ey0)直线AB:ax0x+cy0y+d(x+x0)
10、+e(y+y0)=ax02+cy02+2dx0+2ey0,设点A(x1,y1)在曲线G上,则ax12+cy12+2dx1+2ey1+f=0,若点B(2x0-x1,2y0-y1),且由点B在直线AB上ax0(2x0-x1)+cy0(2y0-y1)+d(3x0-x1)+e(3y0-y1)=ax02+cy02+2dx0+2ey0ax02+cy02+dx0+ey0=ax0x1+cy0y1+dx1+ey1,所以,a(2x0-x1)2+c(2y0-y1)2+2d(2x0-x1)+2e(2y0-y1)+f=4(ax02+cy02+dx0+ey0)-(ax0x1+cy0y1+dx1+ey1)+(ax12+cy
11、12+2dx1+2ey1+f)=0点B(2x0-x1,2y0-y1)在曲线G上,即点P是弦AB的中点. 3.共轭定理:过点P的直线与圆锥曲线G交于A、B两点,与点P的极线交于点Q,则:+=0. 证明:设圆锥曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,P(x0,y0),Q(xQ,yQ),则点P的极线方程为:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0,由点Q(xQ,yQ)在极线上ax0xQ+cy0yQ+d(xQ+x0)+e(yQ+y0)+f=0,又设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入曲线G的方程得:(axQ2+cyQ2+2dxQ+2eyQ+f)2+2(ax0xQ+cy0y
12、Q+dx0+dxQ+ey0+eyQ+f)+ax02+cy02+2dx0+2ey0+f=0(axQ2+cyQ2+dxQ+eyQ+f)2+ax02+cy02+dx0+ey0+f=0A+B=0.又因A=,B=+=0+=0. 推论1(比例定理):若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,过点A、B作两条平行直线,分别与直线l交于点D、C,则:. 证明:分两种情况:(1)若ABl,则四边形ABCD是平行四边形AD=BC,又由中点性质知,AP=BP,故;(2)若AB与直线l交于点Q,由共轭定理知,又由ADBC. 推论2:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线
13、G相交于A、B两点,分别过点A、B、P作直线l的垂线,垂足分别为D、C、Q,则AC与BD的交点M平分PQ. 证明:因AD:BC=AP:BP,由ADBCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MCPMBCM在PQ上;又由PQBCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MQ:BCPM=MQM平分PQ. 共轭定理自然的引发我们给出点P与Q的关系定义. 定义:若直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,且+=0,则称点P与Q是圆锥曲线G的一对共轭点. 由共轭定理知,若点P及其极线上一点Q的连线与曲线G相交,则P与Q为圆锥曲线G的共轭点.共轭是高等几何中最重要的概念之一,它是联系高等几何中各主要概念的一条主线,
14、二次曲线的许多重要结论都与此密切相关. 4.条件定理:两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)共轭的充要条件是:ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 在文1(P179)中给出的是高等几何的证明,这里我们给出自然的、初等的证明. 证明:设直线PQ与圆锥曲线G相交于A、B两点,则P与Q关于圆锥曲线G共轭+=0+=0A+B=0,其中,A=,B=-;设割线PAB的参数方程为:(为参数),代入圆锥曲线G的方程得: 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 3 (ax22+cy22+2dx2+2ey2+f)2+2(ax1
15、x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f)+ax12+cy12+2dx1+2ey1+f=0,所以,A+B=0ax1x2+cy1y2+dx1+dx2+ey1+ey2+f=0ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0. 推论1(轨迹定理):若点P与Q关于曲线G互为共轭点,则:点Q为定点点P在定直线上. 证明:点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0(a2+c20)共轭ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0.点Q为定点,由ax1x2+cy1y2+d(x1+x2)+e(y1+y2)+f=0点P
16、在定直线ax1x+cy1y+d(x+x1)+e(y+y1)+f=0上. 推论2(一一对应)(1P83):若点P与Q关于曲线G互为共轭点,且点P与Q在确定的直线l上,则点P与Q是一一对应的. 证明:设曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f=0,点P(x0,y0),则点P的共轭点Q在点P的极线p:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上,又因点Q在确定的直线l上点Q是直线p与l的唯一交点,反之亦成立,所以,点P与Q是一一对应的. 5.割线定理:设四边形ABCD内接于圆锥曲线G,一对对边AB和DC A的交点为P,对角线AC和BD的交点为Q,则点P与Q是二次曲线G的一对共轭点.
17、 N 证明:以P为原点,PQ为x轴建立直角坐标系,圆锥曲线G:ax2+2bxy+cy2+2dx B Q+2ey +f=0(a2+c20),直线PA、PD的方程分别为:y=k1x、y=k2x,则过A、B、C、D P C D四点的二次曲线系G的方程为:ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f+(y-k1x)(y-k2x)=0,其中包括二次曲线系G退化为两直线AC、BD的方程,则两直线AC、BD与x轴交点 (图1)Q的横坐标xQ满足:axQ2+2dxQ+f+k1k2xQ2=0(yQ=0),即(a+k1k2)xQ2+2dxQ+f=0=-xQ=-Q(-,0),又点P(0,0)关于圆锥曲线G的极线方程
18、为:dx+ey+f=0点Q在此极线上,由共轭点存在定理知:点P与Q是二次曲线G的一对共轭点. 这个定理是圆的三割线定理在圆锥曲线中的移植推广,它在建立高等几何中圆锥曲线结果的初等化系统中非常重要,故我们把它称为割线定理. 推论1(交点轨迹):设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,PA与曲线G相交于另一点B,则BQ与PC的交点D在曲线G上. 证明:设直线AC与圆锥曲线G交于点E,连接BE与PQ相交于点F,由割线定理知,点P与F是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点F与Q重合点E与D重合点D在曲线G上. 推论2(共线定理1):设点P与Q是二次曲线
19、G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,PC与曲线G相交于另一点D,AP与曲线G相交于另一点B,则B、Q、D三点共线. 证明:设直线AC与BD交于点E,由割线定理知,点P与E是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点E与Q重合B、Q、D三点共线. 推论3(共线定理2):设点P与Q是二次曲线G的一对共轭点,过点Q的直线AC与曲线G相交于A、C两点,AP与曲线G相交于另一点B,BQ与曲线G相交于另一点D,则P、C、D三点共线. 证明:设直线PC与圆锥曲线G交于点E,连接BE与PQ相交于点F,由割线定理知,点P与F是二次曲线G的一对共轭点由共轭点的一一对应性知,点F与Q重合
20、点E与D重合P、C、D三点共线. 推论4:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,曲线G的弦ABl,点Q在直线l上,过点A、B分别作PQ的平行线,与直线l分别交于点D、C,则CQ=DQ. 证明:因四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC.设直线BP与AQ交于点M,由推论1知,点M在曲线G上,作MNPQ交直线l于点N,则QN:QD=MN:AD=MN:BC(注意到由比例定理知MN:BC=MP:PB)=MP:PB=NQ:QCQC=QD. 推论5(文1P176):内接于曲线G的四边形ABCD的两对对边的交点及对顶点的切线交点必四点共线. 证明:设点Q(x0,y0),曲线G:ax2+cy2+2dx+2ey+f
21、=0(a2+c20)由切点弦的性质定理知,圆锥曲线G在A、C处的切线交 4 高等几何中圆锥曲线结果的初等化 点P,在B、D处的切线交点Q均在直线l:ax0x+cy0y+d(x+ x0)+e(y+y0)+f=0上;又由割线定理知,点M(xM,yM)、N(xN,yN)均是点Q关于曲线G的共轭点,根据共轭点的条件定理得:ax0xM+cy0yM+d(xM+x0)+e(yM+y0)+f=0,ax0xN+cy0yN+d(xN+x0)+e(yN+y0)+f=0点M、N均在直线l:ax0x+cy0y+d(x+x0)+e(y+y0)+f=0上P、M、Q、N四点共线. 推论6(文1P176):内接于圆锥曲线G的A
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