2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第9章第5节第1课时椭圆及其性质.docx
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1、第五节椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率 ).3.理解数形结合思想 .4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1, F2 的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的集合叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合 P M|MF 1|MF 2|2a ,|F1F2| 2c,其中 a,c 为常数且 a0,c0.当 2a|F1F2|时, M 点的轨迹为椭圆;当 2a |F1F2|时, M 点的轨迹为线段F1F2;当 2ab0)
2、a2 b21(ab0)图形范围axabxbbybaya性对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点A (a,0),A (a,0),A (0, a), A (0,a),质1212顶点B1(0, b),B2(0, b)B1(b,0),B2(b,0)离心率cea,且 e (0,1)a,b,c 的关系c2 a2b2 常用结论 1点 P(x0,y0)和椭圆的位置关系22点, 0在椭圆内00(1)P(x0?x2y2 1.y )ab002y2x0(2)点 P(x ,y )在椭圆上 ?02 2 1.ab22(3)点 P(x00x0y0,y )在椭圆外 ?a2b2 1.2焦点三角形如图,椭圆上的点 P(x0,y0)与
3、两焦点构成的 PF1F2 叫做焦点三角形 设 r1|PF1 |,x2y2r2 |PF2|,F1PF2,PF1F2 的面积为 S,则在椭圆 a2 b21(ab0)中:(1)当 r 1 r2 时,即点 P 的位置为短轴端点时,最大;2(2)S b tanc|y0 |,当 |y0| b 时,即点 P 的位置为短轴端点时, S 取最大值,最2大值为 bc.(3)a c |PF1 |ac.(4)|PF1 | aex0,|PF2|aex0.3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a 是斜边长,a2b2c2.4已知过焦点 F1 的弦 AB,则ABF2 的周长为 4a.5椭圆中点弦的斜率公式
4、x2y2若 M(x0,y0)是椭圆 a2 b21(ab0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点,则有 kABkOMb2202,即 kABb x. 2aa y06弦长公式:直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|1k2 |x1x2| 1k2 x1x2 24x1x211 2 11221 2为直线的斜率 21 21k|yy |k yy4y y (k)一、思考辨析 (正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内到两个定点F 1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成 PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长, c 为椭圆的半焦距 )
5、()(3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 ()(4)关于 x,y 的方程 mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆 ()答案 (1)(2)(3)(4)二、教材改编1若 F1(3,0),F2 (3,0),点 P 到 F1,F2 距离之和为10,则 P 点的轨迹方程是 ()x2y2x2y2A. 2516 1B.1009 1y2x2x2y2y2x2C.2516 1D.2516 1 或25161A 设点 P 的坐标为 (x,y),因为 |PF1|PF2|10|F1F2| 6,所以点 P 的轨迹是12为焦点的椭圆, 其中 a 5,c3,b224,故点 P 的轨迹方程为x2以 F ,Fa c
6、25y2 1.故选 A.162设椭圆的两个焦点分别为F1, F2,过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F12 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()PFA.2B2122C2 2D 21Dx2y221 2b2 法一:设椭圆方程为 a2b21(ab0),依题意,显然有 |PF |F F |,则 a2c,即a2c221.故选 D.a2c,即 e2 2e 10,又 0eb0)因为椭圆的一个焦点为abc1,1c 1a2c2,x2F(1,0),离心率 e 2,所以a2,解得2故椭圆的标准方程为4b 3,a2 b2c2,y2 3 1.第 1 课时椭圆及其性质考点 1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要
7、有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(1)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F 是圆内一定点, M是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P 的轨迹是 ()A 椭圆B双曲线C抛物线D圆1,22y2的两个焦点, A 为椭圆上一点,且 AF12,则x 1(2)FF是椭圆97F45AF1F2 的面积为 ()A 7B747D75C22(1)A (2)C(1) 由题意可知, CD 是线段 MF 的垂直平分线,|MP| |PF|,|PF|PO| |PM|PO| |MO|(定值 )又|M
8、O|FO|,点 P 的轨迹是以 F, O 为焦点的椭圆,故选 A.(2)由题意得 a3,b 7,c 2,|F1F2|22,|AF1| |AF2| 6.|AF2|2|AF1 |2 |F1F2|22|AF1| |F1F2|cos 45 |AF1|2 4|AF1|8,(6|AF1|)2|AF1 |2 4|AF1|8.7,|AF1|21727SAF1F2 22 2 222.本例 (1)应用线段中垂线的性质实现了“ |PF|PO|” 向定值的转化;本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起,借助方程的思想解出|AF1|,从而求得AF1F2的面积教师备选例题 x2y2设 F1,F2 分别是椭圆 2516
9、1 的左、右焦点, P 为椭圆上任意一点,点M 的坐标为 (6,4),则 |PM|PF1|的最小值为 _5 由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得 |PF1| 2a|PF2|.|PM|PF1| |PM| (2a |PF2|) |PM| |PF2 | 2a|MF 2 |2a,当且仅当 M,P, F2 三点共线时取得等号,又 |MF 2| 63 2 4 0 25,2a10,|PM| |PF1| 5 10 5,即 |PM|PF1|的最小值为 5.x2y2已知 F1, F2 是椭圆 C:a2b21(ab0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1PF2,若 PF1F2 的面积为 9
10、,则 b_.3 设|PF 1| r1,|PF2|r2, r 1r 2 2a,则222所以 2rr(r r222222,所以 SPF F12121212r 1r 2 4c ,122r 1r 2 b 9,所以 b3.考点 2椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义,并确定a2,b2 的值,再结合焦点位置可写出椭圆方程特别地,利用定义法求椭圆方程要注意条件2a |F1F2|.1.在 ABC 中, A( 4,0),B(4,0), ABC 的周长是 18,则顶点 C 的轨迹方程是 ()x2y2y2x2A 259 1(y0)B259 1(y0)x2y2y2x2C169 1(y0)
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- 2021 数学 北师大 一轮 教师 课时 椭圆 及其 性质
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