线性代数与几何期末考试试题分类多媒体版.doc
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1、线性代数与几何期末考试试题分类多媒体版 20082014级线性代数与几何试题分类 一、行列式 2008级(12分) 01求1 a12c1001b21 2求d11?11x?11?1x?1?1 1x?11?1x?1?11?1 x 13多项式f(x)?3 1112x1?1中,x3的项为_ 21112x1 2009级(10分) 11?00 1?x ?41已知?201?004?x?2?0,求x ; 2求n阶行列式D? 00?11?21?x 10?01?2?4 2010级(13分) a?x11?101?x?111已知?0,求x ; 2求n阶行列式D?1?1?x10?111?x1 103590?01a?00
2、? 0?a00?0a3已知D?124?23,Aij是代数余子式,记x?A12?A22?A32,y?A11?A21?A31,则(x,y) 2011级(10分) x?1?1?1123?1x?1?11. D?3714. 2. 求方程?0的根. ?1?1x?1247?1?1?1x 2012级(10分) 11?1 1 D?1 1?a20?01?a1,(ab?0) 2 03?0 ?11?b 00?n11 2013级(10分) 011?11 a?x01 10 1a?x?1?0?1a?x?1101?11x? 2Dn? 111?01 111?10 2014级(10分) ?1?01. 设A?2?2000?a?1b
3、cd?100?ab?1cd, 计算2A12 2. D?. ?014abc?1d?015?abcd?1 利用行列式性质计算4阶以内,或简单n阶 二、矩阵 2008级(14分) 1. 设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则 (A) 当m?n时,行列式|AB|?0; (B) 当m?n时,行列式|AB|?0; (C) 当n?m时,行列式|AB|?0; (D) 当n?m时,行列式|AB|?0. ?001?2. 设矩阵B?010?,已知矩阵A相似于B,则秩(A?2I)与秩(A?I)之和等于 ?100? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4. ?11?1?11?10?3.设矩阵A?112?,B
4、?,C?00,?21?12?3?00? ? X满足方程AXB?C?2XB, 求X. 2009级(17分) 1如果A,B均为可逆矩阵,且(AB)2?I,则下列各式中不正确的是(A)A?B?1 (B)ABA?B?1 (C)BAB?A?1 (D)(BA)2?I 2设A,B均为n阶方阵,且AB,则下述不正确的是(A)若|A|0,则存在可逆阵P,使得PB=I (B)存在可逆阵P与Q,使得PAQ=B (C)若AI,则|B|0 (D)若|A|>0,则|B|>0 3设A为4阶方阵,则下列结论错误的是(A)AA*?|A|I (B)若R(A)?2,则R(A*)?0 (C)|A*|?|A|3 (D)若|
5、A|?2,则|1?11A|? 24 ?1?2? 4解矩阵方程A*XA?2XA?8I,其中A?1? 2010级(20分) 1若A2?A?2E?0,则下列结论不正确的是 (A)A和AE均可逆 (B)A和A + 2E均可逆 (C)A+2E和AE均可逆 (D)A+E和A2E均可逆 2设n阶方阵A、B、C满足ABCE,则必有(A)CBAE (B)BCAE (C)BACE (D)ACBE 3若A可逆,则下列各式中正确的是 (A)AA*?0 (B)(2A)?1?2A?1 1?1(C)(A*)?1?A (D)(A?1)T?1?(AT)?1T A 4下列结论正确的是(A)若A,B为n阶方阵,且A与B相似,则A与
6、B合同. (B)若A为实对称阵,则A>0的充要条件是A的特征值全大于零. (C)若A,B为n阶方阵,且A与B等价,则A与B相似. (D)若n阶方阵A有n个特征值,则A与对角阵相似. ?202?5解矩阵方程XA=2X+A,其中A?040? ?202? 2011级(27分) 1. 设A, B互为逆矩阵,则下列说法不正确的是_. A. B?1*1A B. |A|? C. |A|?1 D. AB?BA |A|B| ?12?112. 设矩阵A?2?1?2748 ?a1 3设A?a2?a?3b1b2b300320?0?, 求|A100|. 4?3?b1b2b3d1?d2?,且|A|?1,|B|?3,
7、则|2A?B|=_ d3?c1?a1?c2?,B?a2?ac3?3 4设矩阵A满足A2?A?3I?O,则(A?2I)?1?_. 5. ?abb?bab设矩阵A?的秩为 ?bba?1,则必有_. A. a?2b?0 B. a?2b?0 C. a?b?0 D. a?b?0 ?111?11?112B?116设A?, ?. 求X使AX?B.?11?122? 2012级(23分) 1若A,B为n阶可逆方阵,则(AB)?1 (A)11?1?1nAB (B) (C) (D)AB(?1)AB ?1?1AB 2设A是三阶方阵,若A2?0,下列等式成立的是 (A)A?0 (B)R(A)?2 (C)A3?0 (D)
8、A?0 3若A,B为n阶可逆方阵, 则(A)AB=BA (B)存在可逆矩阵P,使得P?1AP?B (C)存在可逆矩阵C,使得CTAC?B (D)存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B ?1?1?12?,B?A?3A?2E,则B? ?23? 5设?1,?2,?3均为3维列向量,记矩阵A?(?1,?2,?3),B?(?1?2?3, 4设A? ?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3),如果A?1,那么B? ?0?10?6设A?100?,B?P?1AP,求B2012?2A2 ?00?1? 2013级(31分) 1设A为3阶方阵,且|A|?,则(3A)?1?2A*? 1 2 (A)?161644 (B)
9、 (C)? (D) 272733 2设A是可逆方阵,下列等式成立的是 (A)(2A)?1?2A?1 (B)AA*?0 (C)(A*)?1?1?1A (D)(A?1)T)?1?(AT)?1)T |A| 3若A,B为n阶非零矩阵,且AB=O,则A与B的秩(A)都等于n (B)必有一个小于零 (C)都小于n (D)一个小于n,一个等于n ?101?2026AX?E?A?X,则X4设A?,且?161? 5设A为n阶方阵且AAT?E,|A|?0,则|A?E|? ?1?11?,则?T?11?16设?为3维列向量,?T是?的转置. 若?T?1?11? ?10?1?0217设A,B均为方阵,且满足AB?A?B
10、,又A?,求B. ?1?2?1? 8证明题:设A,B均为非零阵且A为m?n阵,若AB=O,则R(A)?R(B)?n 2014级(24分) 1. 设A,B均为n阶方阵,且满足AB?O,则必有. A. A?O,或B?O B. A?B?O C. A?0,或B?0 D. |A|?|B|?0 2. 已知n阶方阵A满足A2?A?2E?O,则. A. A?E与A?2E均可逆 B. A与E?A均可逆 C. A可逆,E?A不可逆 D. A不可逆,E?A可逆 3设A为三阶方阵,A*为A为伴随矩阵,且|A|?, 求?3A?(2A)*. 4. 设4阶行列式?1?2?3?1?m,?1?2?2?3?n,则4阶行列式?1?
11、2?3?1?2?. 12?1 ?302? 5. 设3阶方阵A, B满足AB?2A?E,且B?030?,求A. ? ?103? 6. 设A?(aij)是3阶非零矩阵,Aij是元素aij的代数余子式,且 aij?Aij?0(i,j?1,2,3),计算A的行列式|A|. 1矩阵方程(含逆矩阵和矩阵乘积); 2方阵的行列式; 3利用性质求矩阵的秩(一般不单独求秩); 4关于矩阵乘积的“奇怪”性质的一些概念题。 三、向量组和解方程组 2008级(39分) 1. 若四元齐次线性方程组Ax?0的解都可以表示为k(1,1,1,1)T(k为任意常数),则 (A) R(A)?0; (B) R(A)?1; (C)
12、R(A)?2; (D) R(A)?3. 2. 设向量组A:?1,?2,?3,?4线性无关,向量组B:?1?1?2,?2?2?3 ?3?3?4,?4?4?1,则 (A) B是线性相关组; (B) B的线性相关性不能确定; (C) B是线性无关组; (D) A组不一定可由B组线性表示. 3.求向量组?1?(1,1,1,1)T,?2?(0,1,2,2)T,?3?(?1,0,1,1)T,?4?(1,2,1,2)T 的一个最大无关组. ? 4.求方程组 ?x1?2x2 ?x4?1 ?2x1?3x2?x3?3x4?2 的通解. ?3x1?5x2?x3?4x4?1 5.求当?为何值时,下列方程组无解?有唯一
13、解?有无穷多解? ?x1?x2?(1?)x3? ?x1?(1?)x2?x3?3. ?(1?)x1?x2?x3?0 6.不指出具体交点,证明:平面上三条不同的直线 ax?by?c?0,bx?cy?a?0,cx?ay?b?0 相交于一点的充要条件是a?b?c?0. 2009级(42分) 1下列叙述正确的是(A)?1,?2,?3和?1?2,?2?3,?3?1的相关性相同. (B)?1,?2,?3,?4和?1?2,?2?3,?3?4,?4?1的相关性相同. (C)若?1,?2,?3无关,?1,?2,?3无关,则?1?1,?2?2,?3?3也无关. (D)若?1,?2,?3相关,?1,?2,?3相关,则
14、?1?1,?2?2,?3?3也相关. 2设A是n阶方阵,下列结论错误的是 (A)非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是R(A)= R(A:b) (B)若非齐次线性方程组AXb有解,则|A|0 (C)若非齐次线性方程组AXb无解,则|A|0 (D)非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是|A|0 3设4元非齐次线性方程组AXb的系数矩阵的秩为3,?1?(1,2,3,4)T, ?2?(2,3,4,5)T是它的两个解,则AXb的通解X 4求?1?(1,2,?3,5),?2?(3,?1,?3,1),?3?(5,?3,1,?1),?4?(?1,4,1,7)的秩和一个极大无关组. ?x1?x3?x5?0
15、?2x?x?3x?2x?2x?0?123455求方程组?的通解. ?3x1?x2?2x3?5x4?0 ?x1?x2?3x4?0 6讨论a,b为何值时,下列方程组无解,有唯一解,有无穷多解(不求方程的解). ?x1?x2?x3?x4?1?x2?x3?2x4?1? ?2x?3x?(a?2)x?4x?b?3234?1 ?3x1?5x2?x3?(a?8)x4?5 7设?1,?2是齐次方程组AX=0的基础解系,证明:?1?2,?1?2也是AX=0的基础解系. 8若向量组?1,?2,?,?n线性相关,则?1?2,?2?3,?,?n?1线性相关. 2010级(39分) 1下列叙述正确的是(A)?1,?2,?
16、3和?1?2,?2?3,?3?1的相关性相同. (B)?1,?2,?3,?4和?1?2,?2?3,?3?4,?4?1的相关性相同. (C)若?1,?2,?3无关,?1,?2,?3无关,则?1?1,?2?2,?3?3也无关. (D)若?1,?2,?3相关,?1,?2,?3相关,则?1?1,?2?2,?3?3也相关. 2设A是mn矩阵, b是m维非零列向量,下列命题正确的是(A)若AX0只有零解,则AXb有唯一解 (B)AX0有非零解的充要条件是|A|0 (C)AXb有唯一解的充要条件是R(A)=n (D)若AXb有两个不同的解,则AX0有无穷多解 3求?1?(1,0,?1,0),?2?(0,1,
17、1,2),?3?(2,3,5,8),?4?(1,1,?2,1)的秩和一个极大无关组. ?x1?2x2?3x3?x4?0?2x?3x?x?3x?0?12344求方程组?的通解. ?x?2x?4x?5x?0234?1 ?2x1?3x2?2x3?3x4?0 5讨论a,b为何值时,下列方程组无解,有唯一解,有无穷多解. ?2x1?(a?2)x2?(b?2)x3?3? ?x1?x2?x3?1 ?3ax?(a?2b)x?323? 6若?1,?2,?3是方程组AX0的基础解系,则?1,?1?2,?1?2?3也是AX0的基础解系。 7证明向量组?1,?2,?3和?1?2,?2?3,?3?1的线性相关性相同。
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