23个典型的数列专题.doc
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1、23个典型的数列专题解答1、等差数列中,前三项依次为,求:解:由等差数列中项公式得:,则:.首项为:,公差为:;则数列通项为:. 故:.由等差数列公式就可以通解.2、前100个自然数(1到100)中,除以7余2的所有数之和S是?解:这些数构成的数列为:;在100之内,n的最大数m为:,即;这些数之和S为:余数是常数的问题要转化为等差数列问题.3、在等差数列中,前n项和为. 若,则最大时,解:等差数列通项为:,求和公式为:;则:,即:,即:;,即:,即:.故最大时,.通项公式和求和公式都要很熟啊.4、数列的通项公式,若它的前n项和为,求: 解:通项:;则:,于是:相当于裂项法.5、等差数列,其公
2、差不为0,其中,、依次构成等比数列,求公比解:等差数列通项:,则:,构成等比数列,则:,即:;即:.因为,故:;所以:.由比例中项直接列式,导出与的关系. 6、已知等差数列的前n项和,且,. 设,求证:是等比数列,并求其前n项和.证明:通项:,求和公式:;则:,即:,故:.于是:;则:,则:,故是首项为,公比为,的等比数列,通项为:.其求和公式:7、若,且两个数列:和均为等差数列,求:解:设两个等差数列的公差分别为:和,则:,.故:利用等差数列的等差性质来求本题.8、已知正项数列的前n项和满足:,且、成等比数列,求数列的通项解:由已知: 由-:移项合并:,即:由于正项数列,所以:,即:;由此得
3、到是公差为5的等差数列. 设:,则:,;由、成等比数列得:,即:;即:,故:. 所以:本题由等式条件得出公差是5,由等比条件确定首项. 9、已知数列的前n项和,试求数列的前n项和解:由已知:及: 和:得到上面求和公式可分成两部分,一个求和,一个求和.故:. 那么:;所以:. 要熟悉一些基本的求和公式,还有裂项求和方法. 10、已知数列的前n项和为,其首项,且满足,求通项解:由已知: 由: ;移项合并:,即: 由此递推得:将递推进行到底!11、如果数列中,相邻两项和是二次方程(n=1,2,3)的两个根,当时,试求解:由韦达定理: 由式可得:,即: 式表明:和都是公差为-3的等差数列.又因,代入式
4、可得:,于是得到等差数列为:;.那么: ,代入式得:本题由韦达定理得出为等差数列,算出首项得到,再计算出.12、有两个无穷的等比数列和,其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是和,对一切自然数都有:,求这两个数列的首项和公比.解:由和得:,及. 数列的首项设这两个等比数列的通项公式分别为: 将两式代入,并采用赋值法,分别令和得:,即: ,即: 由得: 将式代入式得:因为:,则上式化简为:,即:将代入式得: 这是这两个数列的公比.将和分别代入式和式得:;本题采用赋值法求解.13、已知数列的前n项和为,当时,满足:;求证:数列为等差数列;并求的通项公式解:由得:,即:,则:,.上式表明:是一个首项为
5、2,公差为2的等差数列. 则:,即:,;于是: 故:注意求和化通项的方法.14、已知等比数列的首项,且满足:.(1)求的通项;(2)求的前n项和.解:将、代入上面等式得:化简得:即:整理得:,即:则:或注意求和化通项的方法.第14题第(2)问解答:(2)A.对于等比数列:,其求和公式为: 故:1 2 则: 由-得:综合1和2得:(2)B.对于等比数列:其求和公式为:故:1 2 则: 由+得:故:于是:15、若等差数列的第m项等于k,第k项等于m(其中),求数列的前项的和。解:等差数列通项为:;则: 由两式相减得:,故:.首项为:,通项为:;则的通项为:前项求和:求公差和求首项是求通项的关键.1
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