复变函数习题二解答.docx
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1、第二章部分习题解答1.试证下列函数在z平面上任何点都不解析。(1) fz x y(2)fz Rezo证 (i)1,X0, y,知f z在z平面上任何点都不解析。u/uvv一1一x,yxy2,下列函数何处可导?何处解析?2. 2(1) f z xy ixy解 (1)由于0,知f z在z平面上任何点都不解析2xyuo uVv2xy xyx在z平面上处处连续,且当且仅当z=0时,u, v才满足 C-R条件,故22xy ixy仅在点z o处可导,在z平面处处不解析。3 .证明:如果函数f z u iv在区域D内解析,并满足下列条件之一,那么 f z 是常数。(2) f z在D内解析。1fz |在D内是
2、一个常数。,故由引理得解 (1)的证明由于根据条件即有恒为常数, 即内恒为常数若, z u iv u iv在区域D内解析,则u v v u v ux y y y x x又f z u iv在区域D内解析,则uvuvxyyx结合(1)、(2)两式,有uuvvc0xyxvy故u,v在D内均为常数,分别记之为ui Ci C2C1C2为实常数则 f z u 2 clic 2 C为一复常数。222.(3)若1fzi在D内为一常数,记为ci,则u v Ci ,两边分别对于x和y求 偏导,得2u 2v 0 x x2u 2v 0y y由于f z在D内解析,满足C-R条件x y y x代入上式又可写得u u u
3、v x yu uv u x yu解得x同理可解得vvy0故u,v均为常数,分别记为u C1 ,vu iv Ci iC2 C为一复常数。4.如果fz u iv 是解析函数,试证:if z也是解析函数。证 (1)fz u iv, fz u iv, ifz v iui f z v i u i u i v可知i f z为一解析函数。5.证明:柯西-黎曼方程的极坐标形式是令 x r cos利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件,得u cosu .一 sin yr sinu r sinyvr cos yur cos xrsinu r cosyv -cosxv - sinyu -cos yu - 一 s
4、inx总之,ur sin xur cos y有iy试求(1) |ei2z解 (1)2z| |ei2x(2)i2xy| |e2|ez |2x i 1 2 y2x(2)z2 eiy 2x2 y2 i 2xy ex2 y2 e1Re e1(3)(3) ReeReex iyx iyx-y2Re e/x22Re ex y ei2xxx2Re ey2cos-y2 x y. yi sin -2x yx2 x yecos x7.下列关系是否正确?(1) e(2)coszcosz (3) sin z sin z(D(cosy isiny)(cosy isiny)iyezcosz8.(2)(3)sin z=2ii
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