(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理.docx
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1、 9.6 椭圆1 .椭圆的定义(1)定义:平面内与两个定点Fl F2的距离的和等于常数2a(2 a| FFW)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 .X (2)另一种定义方式(见人教A版教材选修21 P47例6、P50):平面内动点 M到 定点F的距离和它到定直线 l的距离之比等于常数 e(0 ve1)的轨迹叫做椭圆.定点 F叫 做椭圆的一个焦点,定直线 l叫做椭圆的一条准线,常数 e叫做椭圆的 .2.椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)净冷1标准a2 b2方程(ab0)(3)范围aw x& a,-b y baw yw a)-b x0
2、)的左焦点为Fi(4, 0),则m ()A. 2B. 3C. 4D. 9解:由.25 m2= 4,得 m=9,又 n0,m= 3.故选 B.3VmQ解:要使方程 言 my23= 1表示椭圆,只须满足m30,解得3vm5且5 mr5 nU 3,m# 1,因此,“3vmb0)的左、右焦点分别为(2013 全国课标H)设椭圆C: 02 +Fi, F2, P是 C 上的点,PF2,FiF2, / PFF2=30 ,则 C1C.2的离心率为(3 A-T解:设| F1F2 =2c,贝U| PF2| =3V3c, | PF1 =芈二. 2a= | PF1 +| PF2| =273 c,故里.故选D已知中心在
3、原点的椭圆C的右焦点为1F(1 , 0),离心率等于2,则C的方程是 .c 19解:由椭圆c的右焦点为R1, )知c=1,且焦点在x轴上,又e=a=2,飞=2, a=4, b2=a2c2=3,椭圆C的方程为 + y- = 1.故填5=1. 4343已知椭圆2m+y2=1的焦距是2,则该椭圆的长轴长为.解:当焦点在x轴上时,有 m- 4= 1,得m= 5,此时长轴长为2、/5;当焦点在y轴上 时,长轴长为4.故填2书或4.类型一椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(一3, 0), (3, 0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10;(2)过点R 3,
4、 2),且与椭圆X2 + y= 1有相同的焦点;(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且点 P到两焦点的距离分别为5, 3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.解:(1) ,椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为a|+b|= 1(ab0) .-1 2a= 10, 2c = 6,即 a=5, c=3,.bl=al-cl=5l-3l=16.所求椭圆的标准方程为(2) 所求的椭圆与椭圆x2 y225 16i.x2+y2=i的焦点相同, pI其焦点在x轴上,且c2 = 5.设所求椭圆的标准方程为x|+ b2= 1(ab0), ,所求椭圆过点 R3, 2), .有人十一.a2 b2又 a2-b
5、2 = c2=5,联立上述两式,解得a2=15,b2=10.y215 10(3)由于焦点的位置不确定,可设所求的椭圆方程为x2 y23 y2 x2a2+应=1(200)或至+应=.所求椭圆的标准方程为1(ab0),2a=5 + 3,由已知条件得(2c) 2=5232,解得 a= 4, c=2, - b2= 12.皿、,x2 y2jy2 x2故椭圆方程为 而+12= 1或16+12= 1.【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一 定要注意常数 2a| F1F2I这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过 程是先定形,再定量,即首先确定焦点所
6、在位置,然后再根据条件建立关于a, b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx+ny2=1 ( n0, n0,n)的形式.作一个椭圆,使它的中心在原点,焦点在 的长度以及离心率.(1)过两点 R(2 , 2) , R(-3, - 1)x轴上,求椭圆的方程,椭圆的长半轴、短半轴解:根据题意,设椭圆方程为a2+b2=1(ab0),将两已知点坐标代入得A+A=i a2 b2 j3291a2+b2= 1解得32b2= .53 o 5 o故椭圆方程为32必+32=1,长半轴长,离心率c2= a2(2)过点(小,5/5),且与椭圆y5+9=i有相同焦点的椭
7、圆的标准方程4),即 c=4.解法一:椭圆2|+X2= 1的焦点为(0, 4),(0,由椭圆的定义知,2a=y (姬0) 2十(一十+4) 2(/0) 2+(75-4) 2,解得 a= 2,5.由 c2=a2 b2可彳导 b2= 4.所求椭圆的标准方程为y2)+ x2=1.解法二::所求椭圆与椭圆|+9=1的焦点相同,其焦点在 y轴上,且c2=25 9=16.设它的标准方程为 祭*1(0), c2= 16, 且 c2= a2 b2, 1- a2b2=16.又点(q3,乖)在所求椭圆上,a2b2253_一=1,即瓦+后=1.由得a2=20, b2=4,.所求椭圆的标准方程为x27=1.故填20+
8、 亲1.类型二椭圆的离心率x|+ b!=1(0)的左、右焦点,若在直线设F( c, 0), F2C 0)分别是椭圆x=a2上存在点P,使线段PF的中垂线过点 cF2,则椭圆离心率的取值范围是 (A. 0,专c.享1B. 0, -3D.冬1解法一:由题意可设a2P三, PF的中垂线过点F2,| F1F2I = | F2PI ,即 2c =a2- J+y2,整理得y2= 3c2+2a2- a4.a4 ,21口c2“,即3ee2+”0,解得.e的取值范围是李1 .-c,整理解法二:设直线x=a2与x轴交于M点,则| F1F2I =| EP|刁MF ,即2ca2 cc得;w e21,号web0)的右焦
9、点F(c, 0)关于直线y = bx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是解:设左焦点为Fi,由F(c, 0)关于直线 y=bx的对称点 cQ在椭圆上,得|OQ =| OF ,又 | OF| = | OFak.又 2a = ck+ bk,FiQJ_QF 不妨设 | QF| =ck,则 | QF = bk-=-,即 a2= c2+ bc,得 b= c, a = yf2ca b + c| FiF| =ak,因此 2c = c 22 e=a=.故填/.类型三椭圆的焦点三角形已知Fi, F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,/ FiPE=60 .(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证 FiPE的面积只与椭
10、圆的短轴长有关.解:设椭圆方程为O2+b21(ab0), P 点坐标为(x0 | PFl| =a+exo, | PF2 = a exo.在 FiPE中,cos / FiPF =| PF1| 十|PF2 -| F1F2|2| PF1| | PF2(a+ex0) 2+ (a ex0) 2 4c2 o 12 (a+ex0) (aex0)c0s602,解得x0=4c2 a23e2 .x0 ( - a, a), - x2 e 0 , a2),4c2a2 2XCa2有 0w 4 c2 a2 3c2,解得! eb0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆 E于A, B两点,| AF1I = 3| RB|.(1)
11、若 |AB=4, ABF 的周长为 16,求 |AE|;43,一 一一(2)若cos/AEB=k 求椭圆E的离心率.5解:(1)由|AFi| =3| FiB| , |AB =4,得| AF| =3, |FiB| =1,ABF 的周长为 16, 由椭圆定义可得 4a=16, | AF|十| AF2| =2a=8, 故 |AE| =2a|AF| = 83 = 5.(2)设|F1E|=k,则k0且| AF| =3k, |AB =4k,由椭圆定义可得|AF| =2a-3k, |BF2| =2a-k.在ABF中,由余弦定理可得| AB 2= | AR| 2+ | BE| 2 2| AR| B桎|cos
12、/ AFB,6即(4 k)2 = (2 a3k)2+ (2 ak)2(2 a3k)(2 a-k),5化简可得(a+ k)( a- 3k) = 0,而 a+ k0,故 a= 3k.于是有 | AE| = 3k= | AF| , | BF| = 5k,因此 | B冏 2= | A冏 2+ | AB :可得 FA,F2A,故 AFF2为等腰直角三角形.从而c=2a,,椭圆E的离心率e=c=坐.a 2类型四椭圆的弦长(2015 陕西)已知椭圆E: x|+ y|a2 b21(ab0)的半焦距为c,原点一 , -,1O到经过两点(c, 0), (0, b)的直线的距离为2c.(1)求椭圆E的离心率;,一一
13、一225 .(2)如图,AB是圆M (x+2) +(y1) =2的一条直径,若椭圆E经过A B两点,求椭圆E的方程.解:(1)过点(c, 0) , (0 , b)的直线方程为bx+cy bc=0, bc bc c则原点o到该直线的距离d= j- rb2+c2 a 2c3得a=2b = 2a2 c2,解得离心 率e=4.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x从而 x1x2= 8- 2b .| xi X2| =*/ (x1+x2) 24x1x2 =50 (b22). 由 | AB = 50,得弋10 (b22) =Vl0,解得 b2=3. 故椭圆E的方程为x|+y2= 1.12 3【点拨】(i)解决直
14、线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(xi, yi), B(X2,y2),贝U|AB = 7 (1 + k2) (x1+x2) 24x1x21+2 (y1+y2) 2 4y1y2 (k为直线斜率).提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,+4y2=4b2.依题意,圆心M 2, 1)是线段AB的中点,且|AB=V而.易知,AB与x轴不垂直,设其直线方程为y=k(x + 2) + 1,代入得.222. 2
15、(1 +4k)x +8k(2k+1)x+ 4(2 k+1) - 4b = 0.皿8k (2k+1)4 (2k+1) 2 4b2设 A(x1, y。,Rx2, y。,则 x + x2= 1十4k2, mx2 =1十4k2.,/口 8k (2k+1)后力/口1由 X1+x2=4,得一一 一=4,斛得 k=-.于是 |AB=/i+ 21 + 4k22不要忽略对判别式的判断.设椭圆c a2+b2=i(abo)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于a B两点,直线,2 , e15为马.如果| AB =了, 34l的倾斜角为60。,椭圆的离心率则椭圆C的方程为解:由题意知离心率e= -=c=-a,由 b
16、2= a2 c2, 得 b=Wa, 椭圆 C的方程为a 333x2 9y2豆.2设A(xi,yi),B(x2,y2),直线 l的方程为y = J3(x-c),即 y=J3x-a ,与联3一 22.一 a 7a.立得32x-36ax+7a =0,(4 xa) (8 x7a)= 0,解得xi=4,x2=g.由 | AB=1 + 3a 7515 -5|xi-X2| =2 2-oa =-a=,解得 a=3,,b=%a=yj5.4 8443,一 s、- x2 y2lX2 y2椭圆c的方程为+-= 1.故填工=1.9595类型五椭圆中的最值问题已知f是椭圆引*1的左焦点,P是此椭圆上的动点, 丹1 , 1
17、)是一定点,求|PA + | PF的最大值和最小值.解:由题意知 a=3, b =乖,c= 2, F(-2, 0).设椭圆右焦点为 F,则 | PF + I PF | = 6 ,,| PA + | PF = | PA | PF | + 6.当 P,A, F三点共线时,| PA| PF I取到最大值|AF |=啦,或者最小值|AF |= J2.,| PA+| PF的最大值为6 + 2,最小彳1为6 一收.,一一 x2 2一、,一一,一(2)求A(0 , 2)到椭圆+ y =1上的动点的距离的最大值和最小值.1-1 ab|的最大值为包三,最小值3解:设椭圆上 的动点B(x, y),则| AB =x
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- 新课 高考 数学 一轮 复习 第九 平面 解析几何 9.6 椭圆 习题
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