02 半群与群[优教课堂].ppt
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1、近世代数及其应用,罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院,1,课堂教育,第2章 半群与群,本章研究最基本的代数系统:群 (集合中只有一种二元运算)。 群论是代数学中最古老最丰富的分支之一,是 近世代数的基础。 变换群在几何学中起着重要的作用,有限群是伽罗华理论的基础。 群在编码理论、信息安全等方面有应用。,2,课堂教育,第1节:半群与含幺半群,3,课堂教育,4,课堂教育,5,课堂教育,6,课堂教育,7,课堂教育,8,课堂教育,9,课堂教育,10,课堂教育,11,课堂教育,12,课堂教育,13,课堂教育,14,课堂教育,15,课堂教育,16,课堂教育,17,课堂教育,18,课堂教育,1
2、9,课堂教育,20,课堂教育,21,课堂教育,22,课堂教育,23,课堂教育,24,课堂教育,25,课堂教育,26,课堂教育,27,课堂教育,28,课堂教育,29,课堂教育,30,课堂教育,31,课堂教育,32,课堂教育,第2节:群的定义及性质,33,课堂教育,34,课堂教育,群的例,35,课堂教育,36,课堂教育,37,课堂教育,38,课堂教育,39,课堂教育,40,课堂教育,41,课堂教育,42,课堂教育,43,课堂教育,群的定理1(等价定义),44,课堂教育,45,课堂教育,46,课堂教育,群的定理2 (等价定义),47,课堂教育,48,课堂教育,归纳群的等价定义,49,课堂教育,有限群
3、(群的阶),50,课堂教育,有限群证(等价定义),51,课堂教育,52,课堂教育,53,课堂教育,长方形图F,保持距离的双射f有哪些?用顶点变到顶点表示,54,课堂教育,克莱因群,55,课堂教育,群元素的阶,56,课堂教育,群元素阶的定理,57,课堂教育,58,课堂教育,群元素阶的定理,59,课堂教育,定理,有限群,中每个元素的阶均有限.,,在,中必有相等的. 设,则,,从而阶有限.,证明:设,60,课堂教育,例,全体n次单位根,作成一个群,称作n次单位根群。,对于数的普通乘法,61,课堂教育,注:,无限群中元素的阶可能无限,也可能有限,,关于普通乘法作成无限交换群,,甚至可能都有限.,例,,
4、则,其中每个元素的阶都有限.,62,课堂教育,第3节 子群,群同态,利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一. 本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合.,63,课堂教育,定义1,.,例 设,和,都是,的子群.它们称为,的平凡子群.,非平凡子群称为真子群.,64,课堂教育,子群的性质:,则,,由消去律,,,则,,,.,的逆元记为,由消去律,65,课堂教育,判定子群的充要条件,定理2 设,的充分必要条件是:,,有,(2),,有,(1),充分性:由(1),,的运算也是,中结合律也成立,的单位元,由(2),中每一个元素,证明:必要性:由子群定义及定理1,显然成立(1)(2).,的运算.
5、,都有逆元,所以,是一个群,,.,66,课堂教育,判定子群的充要条件,(3),,有,证明:必要性:,,由(1),,.,.,充分性:,由(3),对,于是,,单位元,,因此,.,67,课堂教育,例2 设,例3,例4,H= 数域F上的全体n阶满秩对角阵,H= 数域F上的全体行列式等于1的n阶方阵,,有,,有,68,课堂教育,判定子群的充要条件(有限子集),,有,证明:必要性显然,下证充分性:,(*).,由条件(*),,是一个半群,又因为群,有消去律,从而,也有消去律,,.,注:这个定理,只要求H是有限集,并没有 要求G是有限集.,69,课堂教育,群的同态,复习: 同态映射,单同态(映射),满同态(映
6、射),同构(映射) 两个代数系统的同态,同构,性质,70,课堂教育,同态应用到群,定理假定 与 是两个同态的代数系统,如果是群,那么 也是一个群,证明 的乘法适合结合律,而 与 同态,由前述定理知, 的乘法也适合结合律,所以 适合群定义的条件 ,我们证明 适合(左单位元,左逆元)设: 是满同态(映射),71,课堂教育, 就是 的一个左单位元假定 是 的任意元,而 是 的一个原像: 那么,假定 是 的任意元, 是 的一个逆像: 那么 是 的左逆元.,72,课堂教育,73,课堂教育,74,课堂教育,75,课堂教育,76,课堂教育,由定理的证明我们直接可以看出,定理假定 和 是两个群在 到 的一个同
7、态满射之下, 的单位元 的象是 的单位元, 的元 的逆元 的像是 的像的逆元,77,课堂教育,第4节 循环群,循环群是已经研究清楚的群之一,就是说,这种群的元素表达方式和运算规则,以及在同构意义下这种群的数量和它们子群的状况等,都完全研究清楚了.,78,课堂教育,例子,例1、n次分圆域 例2、整数加群Z 启示: 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是的乘方这一点,假如把G的代 数运算不用而用 “ ” 来表示,就很容易看出我们知道 的逆元是假定m是任意正整数,那么 这样Z的不等于零的元都是的乘方但是Z的单位元,按照 定义,79,课堂教育,存在性,定义 若群G
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