6.2-群的定义[优教课堂].ppt
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1、6.2 群的定义,6.2.1 半群 6.2.2 群 6.2.3 群的性质,1,课堂教育,6.2.1 半群,定义6.2.1 设G是一个非空集合,若 为G上的二元代数运算,且满足结合律,则称该代数系统(G, )为半群。,2,课堂教育,例:,设S是一个非空集合,(S)是S的幂集,和是(S)上的交运算和并运算,则(S), ), (S), )都为半群。 设Z为整数集,+、-、 是数的加法、减法和乘法,则(Z, +)、(Z, )都是半群; (Z, -)不是半群。,3,课堂教育,例:,设N为自然数集,规定N上的运算“”如下:ab=a+b+ab,显然,为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a,b,c,有:
2、(ab)c=(a+b+ab)c =(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+bc+ac+abc, a(bc)=a(b+c+bc) =a+(b+c+bc)+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+bc+ac+abc, 故,(ab)c=a(bc). 因此,(N, )为半群。,4,课堂教育,定义6.2.2 设(G, )为半群,如果满足下面条件: 1)有壹(单位元素):G中有一个元素1,适合对于G中任意元素a,都有1a=a1=a; 2)有逆(逆元素):对于G中任意a,都可找到G中一个元素a-1,满足aa-1=a-1a=1, 则称(G, )为群。 如果群G包含的元素个数有限,则称G为
3、有限群,否则称G为无限群。,6.2.2 群,5,课堂教育,例:,设Z为整数集, +、是数的加法和乘法, 则 1)半群(Z, +)是群,称为整数加法群。因为存在元素0,适合对于Z中任意元素a,都有0+a=a+0=a;且对于Z中任意a,都可找到Z中一个元素-a,满足a+(-a)=(-a)+a=0。 2)半群(Z, )不是群。因为虽然存在单位元素1,适合对于Z中任意元素a,都有1a=a1=a,但除了1和-1外,其它元素均无逆元素。,11=1; (-1)(-1)=1。,6,课堂教育,设Q为所有有理数组成的集合,R为所有实数组成的集合,C为所有复数组成的集合,Q*为所有非零有理数组成的集合,R*为所有非
4、零实数组成的集合,C*为所有非零复数组成的集合,+、是数的加法和乘法,则 (Q, +)、(R, +)、(C, +)都是群; (Q, )、(R, )、(C, )都不是群; (Q*, )、(R*, )、(C*, )都是群。,例:,因为0无逆元素。 存在单位元素1:1a=a1=a 对所有非零元素a,有:a(1/a)=1,7,课堂教育,设S是一个非空集合,(S)是S的幂集,和是(S)上的交运算和并运算,则: 1)半群(S), )不是群。存在单位元素S;但除了S,其它元素都不存在逆元素; 2)半群(S), )也不是群。存在单位元素;但除了,其它元素都不存在逆元素。,例:,aS=a; S=,SS=S; a
5、S=a; S=,a=a; S=S,=; a=a; S=S,8,课堂教育,设N为自然数集,规定N上的运算“”如下:ab=a+b+ab。已证:(N, )为半群。但(N, )不是群。 反证法:若不然,(N, )是群,则一定有单位元素,设为e,则对N中任意元素a,都有: ea=a,即e+a+ea=a,即e+ea=0。 因此,e=0,但0N,矛盾。因此,(N, )无单位元素,故不是群。,例:,9,课堂教育,设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合,*为矩阵的乘法,则(A,*)是群。 设S=0, 1, 2, m-1,规定S上的运算如下: ab= 其中a, b是S中任意元素,+、-为数的加与减。则(S,)是群
6、,称为模m的整数加法群。,例:,单位元素0:0a=a0=a+0=a; 逆元素m-a:a(m-a)=a+(m-a)-m=0; 0的逆元素是0。,10,课堂教育,设S=a, b,使用乘法表定义S上的运算 如下: a b a a b b b a 问(S, )是否为群?,思考题:,11,课堂教育,设R是实数, 是数的普通乘法,定义R上的一个元算*,对R中任意元素a,b,有a*b=|a|b,问(R, *)上是否有单位元? 答:没有。,思考题:,12,课堂教育,理解群的定义1.单位元是群中唯一的等幂元。,证明:设(G, *)是群,其单位元是1,显然,由于1*1=1,1是等幂元。 设x是G中的等幂元,即x*
7、x=x,则:x=1*x=(x-1*x)*x=x-1*(x*x)=x-1*x=1 (或由:x*x=x,得 x-1*x*x=x-1*x,即x=1),13,课堂教育,理解群的定义2. 群中不可能有零元。,证明:设(G, *)是群,其单位元是1, 当|G|=1,它的唯一元素视为单位元。 当|G|1,用反证法。假设(G, *)有零元,则对xG,都有x*=*x=1,即 不存在xG,使得x*=*x=1,亦即,无逆元,这与G是群矛盾。,14,课堂教育,理解群的定义3. 群中消去律一定成立。,证明:设(G, *)是群,其单位元是1,对于G中任意三个元素a,b,c, 1) 若a*b=a*c,则 a-1*(a*b)
8、=a-1*(a*c),即 (a-1*a)*b=(a-1*a)*c,亦即 1*b=1*c,故b=c。 2) 同理可证:若b*a=c*a,则b=c。,15,课堂教育,在群(G, )中,(ab)-1是否等于a-1b-1? 解:不一定。 设群(G, )的单位元素为e,则有: (ab)-1(ab)=e a-1ab-1b=ee=e 所以, (ab)-1(ab)=a-1ab-1b 但群中交换律不一定成立,所以(ab)-1=a-1b-1不一定成立。,思考题:,16,课堂教育,理解群的定义,元数为1的群仅有1个。 元数为2的群仅有1个。,17,课堂教育,习题1,设Mk=1, 2, 3, , k-1,k是模k乘法
9、运算,当k=19时,(Mk, k)是群吗?当k=20时呢? 答:当k=19时,(Mk, k)是群。 当k=20时,(Mk, k)不是群。,18,课堂教育,习题2,设G=0, 1, , n-1,n是自然数,n2,定义G上的二元运算*为a*b=(ab)(mod n),其中为普通意义下的乘法运算。请问(G, *)是群吗? 答:(G, *)不是群。 1是单位元,但是因为0*x=01,所以0无逆元。,19,课堂教育,作业1,1. 设Z为整数集,定义a*b=a+b-2,其中+,-是Z上的加、减运算,a, b是任意整数,证明:(Z, *)是一个群。 2. 设Q为有理数,其上利用数的加、乘、减定义一个运算*如
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