蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究[业界材料].doc
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1、一类蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究一、请阅读下列材料:问题:如图(1),一圆柱的底面半径、高均为5cm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线小明设计了两条路线:路线1:侧面展开图中的线段AC如下图(2)所示:设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+2=52+(5)2=25+252路线2:高线AB+底面直径BC如上图(1)所示:设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225l12-l22=25+252-225=252-200=25(2-8)0l12l22,l1l2所以要选择路线2较短(1) 小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成
2、:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面的计算:(2) 路线1:l12=AC2=_;(3) 路线2:l22=(AB+BC)2=_(4) l12_l22,(5) l1_l2(填或)(6) 选择路线_(填1或2)较短(7) (2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短二、如图所示,一圆柱高AB为5cm,BC是底面直径,设底面半径长度为acm,求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线方案设计某班数学兴趣小组设计了两种方案:图1是方案一的示意图,该方
3、案中的移动路线的长度为l1,则l1=5+2a(cm);图2是方案二的示意图,设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度,则l2=_cm(保留)计算探究 当a=3时,比较大小:l1_ l2(填“”“=”或“”); 当a=4时,比较大小:l1_ l2(填“”“=”或“”); 延伸拓展: 在一般情况下,设圆柱的底面半径为rcm高为hcm 若l12=l22,求h与r之间的关系; 假定r取定值,那么h取何值时,l1l2? 假定r取定值,那么h取何值时,l1l2?三、1.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离 .2.如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为1,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线,若一只小虫从A点出发,(沿圆柱表面)爬行到点C,则小虫爬行的最短的路线的长度是 (结果精确到0.01). 3.如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线,若一只小虫从A点出发,从圆柱侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短的路线的长度是 (结果保留根式). 2兰花书屋
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