第7章梁的弯曲变形与刚度.doc
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1、第7章梁的弯曲变形与刚度第7章梁的弯曲变形与刚度7.7梁的刚度梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚 度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度 主要由梁的最大挠度和最大转角来限定,因此, 梁的刚度条件可写为::Wmax 兰W9 max乞日(7-10)其中,Wmax =|W(xh,6 max *(X)max分别是梁中的 最大挠度和最大转角,W,如分别是许可挠度和 许可转角,它们由工程实际情况确定。工程中通 常以度()表示,而许可挠度通常表示为:w (1是梁长m是大的自然数m上述两个刚度条件中,挠度的刚度条件是主要 的刚度条件,而转角的刚度条件是次要的刚度条 件。刚度条件的应用与拉伸
2、压缩及扭转类似,梁的刚度条件有下面 三个方面的应用(1)校核刚度给定了梁的载荷,约束,材料,长度以及截面 的几何尺寸等,还给定了梁的许可挠度和许可转 角。计算梁的最大挠度和最大转角,判断其是否 满足梁的刚度条件式( 7-15)和式( 7-16),满足 则梁在刚度方面是安全的,不满足则不安全。很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条 件式( 7-15)即可,而梁的最大转角由于很小, 一般情况下不需要校核。(2)计算许可载荷给定了梁的约束, 材料,长度以及截面的几何 尺寸等,根据梁的挠度刚度条件式( 7-15)可确 定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件 满足的话,可由式( 7-16)确定出梁的
3、另一个载 荷的上限值,两个载荷上限值中最小的那个就是 梁的许可载荷。(3)计算许可截面尺寸 给定了梁的载荷,约束,材料以及长度等,根 据梁的挠度刚度条件式( 7-15)可确定梁的截面 尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的 话,可由式( 7-16)确定出梁的另一个截面尺寸 的下限值,两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸例7-21如图7-41( a)所示的梁,其长度为L = 1 m,抗弯刚度为EI =4.9 105 Nm2,当梁的最大挠度不超过梁长的1/300时,试确定梁的许可载荷。FFA图 7-41 例 7-21FL33EI解:原梁根据图7-41 (b)所示的变形过程,等价于
4、图7-41( c)所示的悬臂梁。梁的最大挠度在自由端 B'根据刚度条件有:3FLLWmaxw:3EI300处,也就是原梁的最大挠度在A点,为:Wmax52EI 4.9 10 Nm3.所以得:F22 厂= 4.9 10 N =4.9kN100 L 100 X1 m故梁的许可载荷为:F =4.9 kN提高梁刚度的方法如前所述,梁的变形与梁的弯矩及抗弯刚度有关,而且与梁的支承形式及跨度有关。如图7-42所示。所以,在梁的设计中,当一些因素确定后, 可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚 度的目的,具体方法如下:图7-42影响梁变形的因(1)调整载荷的位置,方向和形式目的是降低梁的弯矩,这
5、与提高梁的强度的方 法相同。(2)调整约束位置,加强约束或增加约束梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比,因 此,减小梁的跨度是降低变形的有效途径。,如图 7-43(a)所示,工程中常采用调整梁的约束位置 或增加约束来减小梁的跨度(图7-43( b),( c), 还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度(图7-43(d)。(3)提高梁的抗弯刚度选用弹性模量大的材料可提高梁的刚度, 但采 用此种方法是不经济的,即弹性模量大的材料价 格较高。选择合理的截面形状可提高梁的刚度, 如采用 工字形,箱形或空心截面等,增加截面对中性轴 的惯性矩,既提高梁的强度也增加梁的刚度。但 必须指出:小范围内改变梁截面的惯性
6、矩,对全 梁的刚度影响很小,因为梁的变形是梁的各段变 形累积而成,但此种情况对梁的强度影响很大。7.8 梁的简单超静定问题如果梁弯曲时, 仅由平衡方程无法求出梁的支 反力,或由截面法无法求出梁的内力,则这种问 题称为梁的超静定问题, 相应的梁称为超静定梁。 如果平衡方程比未知数(可以是支反力,内力或 梁的几何尺寸)少一个,则称为一次超静定问题 或简单超静定问题;少 n 个则称为 n 次超静定问 题,相应的梁称为一次超静定梁或 n 次超静定梁。 典型的超静定梁如图 7-44 各图所示。图7-44梁的简单超静定问题显然,梁的超静定问题关键是求出梁的支反力 或内力,从而就可以按照前述过程计算梁的应力
7、 和强度或者计算梁的变形和刚度。简单超静定梁问题的解法超静定梁的典型特征是约束过度,这种过度约 束有可能是外部的(图7-44(a)(d),也有可 能是内部的(图7-44(e)(f)。过度的约束称为 多余约束,如图7-45所示,一次超静定梁通常有 一个多余约束,而n次超静定梁通常有n个多余约 束。qAB:惫多余约束(a) 次超静定梁多余约束多余约束(b)二次超静定梁图7-45超静定梁的多余约乍1 TF多余约束(c)三次超静定梁梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似,即:(a)列出梁的整体(或部 分)平衡方程,判别梁是否是超静定梁以及其超 静定次数。(b)在多余约束处列出梁的变形协调
8、 方程。(c)在多余约束处列出梁的物理方程。(d) 将物理方程代入协调方程得到补充方程,即可求 解多余约束处的反力(或内力)。一旦梁的内力求 出后,即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形, 从而可解决超静定梁的强度和刚度问题。很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数 可直观判断。而梁在多余约束处的反力往往只需 要变形协调方程和物理方程即可求解,因此,实 际求解梁的简单超静定问题时,具体方法就是在 多余约束处应用叠加法。其步骤如下:1确定简单超静定梁的某个约束为多余约束(图7-46(a),解除该约束代以未知反力Xi (图 7-46 (b)。解除多余约束后的静定梁称为静定基(图 7-46 (c)。2,
9、简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多 余约束处的未知反力共同作用下的静定梁(图 7-46 (b)。根据叠加法,该静定梁可分解为两个 梁的叠加:一是实际载荷作用在静定基上的情况, 也就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的梁,假设其在多余约束处产生的挠度或转角为,F(图7-46 (d)。二是多余约束处的未知反力作用 在静定基上的情况,假设其在多余约束处产生的 挠度或转角为Aix (图7-46(e)。由叠加法可算 出图7-46 (b)所示的梁在多余约束处的挠度或转 角为.IX'1F。3如果简单超静定梁在多余约束处存在的实 际挠度或转角为&i (图7-46(f),则由叠加法, 应有变形
10、协调条件: Sx 1F 二(7-11)直接求解该方程,即可得到多余约束处的反 力。4利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支 反力,从而可计算梁的内力,应力或变形,也可 计算梁的强度和刚度问题。(a)多余约束(d)q-IBX静定基(b)多余约束XiAB(c)1xxBl(f多余约束(e)必须注意,挠度或转角等有两种可能的方向,若某个方向的挠度或转角规定为正的话, 则其反方向的挠度或转角就为负。另外,如图7-47 所示,根据叠加法,未知反力作用在静定基上在 多余约束处产生的挠度或转角f可以写成标准的形式,为:flx,,其中.11是单位力作用在 静定基上在多余约束处产生的挠度或转角。 所以, 式(7-1
11、1 )可写为:门 11 X 1- if = - 1(7-12)上式称为简单超静定梁的正则方程,是求解各 种简单超静定问题的基本方程。图7-47未知反力产生的挠度或转角静定基点B(c)第二种简化方式还必须注意,静定基的选择并不是唯一的,即 超静定梁可简化为不同形式的静定梁的叠加。静 定基的选择不一样时,相应的变形协调方程也不 一样。如图7-48所示的超静定梁,其静定基就有 两种不同的选择,一种选择为悬臂梁,是将右边 支座看成是多余约束;另一种选择为简支梁,是 将左边支座的转动约束看成是多余约束。通常静 定基选择的原则是越简单越好。例7-22如图7-49( a)所示,已知梁的抗弯截面系数为 W,抗
12、弯刚度为EI,许用应力为二,梁长 为L,载荷集度为q。( 1)作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷。(2)求梁的最大挠度所在的位置。(3)为提高梁的承载能力,可将右边支座提高少许,求支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷,梁的承 载能力提高了多少?(dR,静定基选择为悬臂梁,如图梁为一次超静定梁,将支座B作为多余约束,解除约束代以未知反力7-49 (b)所示。多余约束处的实际挠度为零,即.訂=0,所以有:空一£=03EI 8EI(向上)考虑梁的整体平衡可求岀固定端处的反力为:Ra5qL(向上)mAqL2(逆时针)实际载荷在多余约束处产生的挠度为:aqL4'一 1F8EI未
13、知约束反力在多余约束处产生的挠度为:RL3 : 1 X -3EI梁的剪力图和弯矩图如图7-50所示。RaFs5qL0.6L 9qL23 ql8a B5qL 3E:5L 3EI 8 qL3qL 3EI . 一 8L3128qL2 .3E: '图7-50例7-22梁的剪力图和弯矩图7-51例7-22支座提高后梁的剪力图和弯矩梁在距离固定端0.6L处有一极值弯矩,9qL2max128而梁的最大弯矩在固定端,为maxqL28所以,由梁的强度条件有:maxmax则梁的许可载荷为:q二8二WL2(2)梁的最大挠度所在的位置假设最大挠度的位置离固定端的距离为x,则将梁从该处截断,考虑左边部分梁,其受
14、力情况如图7-51(c)所示。由右段梁的平衡,有:Fs=q(L”詈M叮十因最大挠度所在处的转角为零,所以由叠加法左边梁在自由端的转角为:矩处。3qx九6EIFsx22EIMoEI2qxFs,M代入上式整理后得(o,1)区间的解为:'x,最终有:L15 -330.58,所以梁的最大挠度在x 0.58L处,靠近极值弯16(3 )支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷。由图7-51(d)所示,此时多余约束处有实际挠度于是根据和(1)中相同的分析有:RL3 qL4二 1 X ' if3EI 8EI支座处的支反力为:r = 3EI 3qLL3梁在固定端的支反力为:RA = qL -
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