第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷001.doc
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1、第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、( 15 分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图)若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线,它们的悬挂点在不同的高度上,摆长依次减小设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 ,1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每个摆的摆长),要求满足: ( a )每个摆的摆长不小于 0 . 450m ,不大于1.00m ; ( b )初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ,然后同时释放,经过 40s 后,所有的摆能够同时回到初始状态2 在上述情形中,从所有的摆
2、球开始摆动起,到它们的速率首次全部为零所经过的时间为1以表示第i个单摆的摆长,由条件(b)可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一,即 (Ni为正整数) (1) (1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.由(1)可得,各单摆的摆长 (2)依题意,由此可得 (3)即 (4)因此,第i个摆的摆长为 (5)i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.472二、( 20 分)距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M ,观测发现其位置呈周期性摆动,周期为 T ,摆动范围的最大张角为 假设该星体的周期性摆
3、动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的,试给出这颗行星的质量m所满足的方程若 L=10 光年, T =10 年, = 3 毫角秒, M = Ms (Ms为太阳质量),则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少?分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU (平均日地距离)作为单位,只保留一位有效数字已知 1 毫角秒=角秒,1角秒=度,1AU=1.5×108km,光速 c = 3.0 ×105km/s.设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为,根据题意有 (1)将有关数据代入(1)式,得又根据质心的定义有 (2)式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径,即行星与恒星之间的距离.根据万
4、有引力定律有 (3)由(2)、(3)两式得 (4)若考生用表示行星到恒星行星系统质心的距离,从而把(2)式写为,把(3)式写为,则同样可得到(4)式,这也是正确的. 利用(1)式,可得 (5)(5)式就是行星质量所满足的方程 可以把(5)试改写成下面的形式 (6)因地球绕太阳作圆周运动,根据万有引力定律可得 (7)注意到,由(6)和(7)式并代入有关数据得 (8) 由(8)式可知由近似计算可得 (9) 由于小于1/1000,可近似使用开普勒第三定律,即 (10)代入有关数据得 (11)三、( 22 分)如图,一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m,半径为 R ,螺距H =R ,可绕竖直的对称轴OO
5、,无摩擦地转动,连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ,这时螺旋环也处于静止状态然后放开小球,让小球沿螺旋环下滑,螺旋环便绕转轴 OO,转动求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时,螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小解法一图1hqm一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面,圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行,若把此三角形薄片卷绕在柱面上,则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有 (1)可得 , (2)设在所考察的时刻,螺旋
6、环绕其转轴的角速度为,则环上每一质量为的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同,用u表示, (3)该小质元对转轴的角动量整个螺旋环对转轴的角动量 (4)小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为时,设小球相对螺旋环的速度为,则小球在水平面内作圆周运动的速度为 (5)沿竖直方向的速度 (6)对由小球和螺旋环组成的系绕,外力对转轴的力矩为0,系统对转轴的角动量守恒,故有 (7)由(4)、(5)、(7)三式得 (8) 在小球沿螺旋环运动的过程中,系统的机械能守恒,有 (9)由(3)、(5)、(6)、(9)四式得 (10)解(8)、(10)二式,并利用(2)
7、式得 (11) (12)由(6)、(12)以及(2)式得 (13) 或有 (14)(14)式表明,小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动,其加速度 (15)若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为,则有 (16)由(11)和(16)式得 (17)(17)式表明,螺旋环的运动是匀加速转动,其角加速度 (18)CRm图2小球对螺旋环的作用力有:小球对螺旋环的正压力,在图1所示的薄片平面内,方向垂直于薄片的斜边;螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用力向心力在水平面内,方向指向转轴C,如图2所示、两力中只有对螺旋环的转轴有力矩,由角动量定理有 (19)由(4)、(18)式并注意到得 (2
8、0)而 (21)由以上有关各式得 (22)小球对螺旋环的作用力 (23)解法二图1hqm一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面,圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行,若把此三角形薄片卷绕在柱面上,则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有 (1)可得 , (2)螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时,环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动,结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿
9、螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为的位置时,设小球相对薄片斜边的速度为,沿薄片斜边的加速度为薄片相对地面向左移动的速度为,向左移动的加速度为就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度,若此时螺旋环转动的角速度为,则有 (3)而就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度,若此时螺旋环转动的角加速度为,则有 (4)小球位于斜面上的受力情况如图2所示:重力,方向竖直向下,斜面的支持力,方向与斜面垂直,以薄片为参考系时的惯性力,方向水平向右,其大小 (5) 由牛顿定律有 (6) (7) (8)解(5)、(6)、(7)、(8)四式得 (9) (10) (11)利用(2)式可得 (12) (13) (1
10、4)由(4)式和(14)式,可得螺旋环的角加速度 (15)若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为,则此时螺旋环的角速度 (16)因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成,而小球沿竖直方向的加速度 (17)故有 (18) 由(15)、(16)、(17)、(18)、以及(2)式得 (19) 小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供,向心力位于水平面内,方向指向转轴,故向心力与图2中的纸面垂直,亦即与垂直向心力的大小 (20)式中是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若为小球相对地面的加速度在水平面内的分量,则有 (21)令为在水平面内的分量,有 (22)由
11、以上有关各式得 (23)小球作用于螺旋环的力的大小 (24)由(13)、(23)和(24)式得 (25)四、( 12 分)如图所示,一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速度为、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为d ( d > R ) ,在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻,粒子速度的方向与导线平行,离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力,试求出电流 i 随时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已
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- 27 全国中学生 物理 竞赛 复赛 试卷 001
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