元二次方程根的判别式的综合应用.docx
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1、元二次方程根的判别式的综合应用四川省武胜县中心镇小学初中部曹建局一、知识要点:1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别式=b2-4ac 。定理 1ax 2+bx+c=0(a 0) 中, 0方程有两个不等实数根.定理 2ax2 +bx+c=0(a 0)中,=0方程有两个相等实数根.定理 3ax2 +bx+c=0(a 0)中, 0方程没有实数根.2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。定理 4ax2 +bx+c=0(a 0)中,方程有两个不等实数根 0.定理 5ax2 +bx+c=0(a 0)中,方程有两个相等实数根 0.定理 6ax2 +bx+c=0(a
2、 0)中,方程没有实数根 0.注意 :( 1)再次强调:根的判别式是指=b2-4ac 。( 2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、 c 的值。 (3) 如果说方程 有实数根 ,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2- 4ac0 切勿丢掉等号。(4) 根的判别式b2-4ac 的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a0.二 . 根的判别式有以下应用:不解一元二次方程,判断根的情况。例 1 不解方程,判断下列方程的根的情况:(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a0)解: (1) 2x2+3x-4=0a=
3、2, b=3, c=-4, =b 2-4ac=3 2- 4×2×(-4)=41>0方程有两个不相等的实数根。(2) a0, 方程是一元二次方程, 此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零, =( -b) 2- 4·a·0=b 2,无论 b 取任何关数,b2 均为非负数, 0,故方程有两个实数根。根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。例 2k 的何值时?关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-5=0 ( 1)有两个不相等的实数根;( 2)有两个相等的实数根;( 3)没有实数根;分析:由判别式定理的逆定理可知(1) 0;( 2)=
4、0;( 3) 0;2解:=( -4)- 4·(k -5)=16-4k+20=36-4k( 1)方程有两个不相等的实数根, 0,即 36-4k 0. 解得 k 9( 2)方程有两个不相等的实数根, =0,即 36-4k =0. 解得 k=9( 3)方程有两个不相等的实数根, <0,即 36-4k <0. 解得 k>9证明字母系数方程有实数根或无实数根。例 3求证方程 (m2+1)x 2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。分析:先求出关于x 的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。证明:222=( -2m) -4(m +1)(m
5、+4)242=4m-4(m +5m+4)=-4m4-16m2-16=-4(m 4+4m2+4)=-4(m 2+2) 2不论 m取任何实数 (m2+2) 2>0, -4(m 2+2) 2<0,即<0.222没有实数根。关于 x 的方程 (m +1)x-2mx+(m +4)=0小结:由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤:( 1)计算( 2)用配方法将恒等变形( 3)判断的符号( 4)结论 . 其中难点是的恒等变形,一般情况下配方后变形后为形如:a2,a 2+2,(a 2+2) 2, -a 2, -(a 2+2) 2 的代数式,从而判定正负,非负等情况。应用根的判别式判断三角
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- 二次方程 判别式 综合 应用
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