东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--命题及其关系充分条件必要条件教师版_6110.docx
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1、命题及其关系 ,充分条件 ,必要条件 (教案 )A一、 知识梳理:(阅读教材选修2-1 第 2 页第 13 页)1、 四种命题( 1)、命题是可以可以判断真假的语句,具有“若 P,则 q 的形式;( 2)、一般地用P 或 q 分别表示命题的条件或结论,用p 或q分别表示否定 ,于是四种命题的形式就是:原命题 :P 和q 的逆命题 :否命题 :逆否命题 :(3)、四种命题的关系:两个互为逆否命题的真假是相同的,原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。2、 充分条件、必要条件与充要条件( 1)“若 p,则 q”为真命题, 记pq ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。( 2)如果既有pq
2、 ,又有qp ,记作pq ,则p 是q 的充要条件,q 也是p 的充要条件。3、 判断充分性与必要性的方法:(一)、定义法( 1)、且 q,则p 是q 的充分不必要条件;( 2)、且,则 p 是 q 的必要不充分条件;( 3)、且,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件;( 4)、且,则 p 是 q 的充要条件 ;(二)、集合法:利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系,设满足条件p 的元素构成集合A,满足条件 q 的元素构成集合B;( 1)、若 A,则 p 是 q 的 充分条件若,则 p 是 q 的必要条件 ;( 2)、若 A,则 p 是 q 的充要条件;( 3)、若 A,且 A,则 p
3、是 q 的充分不必要条件; q 是 p 的必要不充分条件;( 4)、若 A,且,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件;二、题型探究探究一:四种命题的关系与命题真假的判断例 1;设原命题是 “已知 p、q、m、n 是实数,若 p=q, m=n,则 p m=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假解:逆命题: “已知 p、 q、 m、 n R,若 p m=q n,则 p=q, m=n(假 )否命题: “已知 p、 q、 m、 n R,若 pq, mn,则 p mq n”(假)逆否命题:“已知p、 q、 m、nR,若 pmq n,则 pq或 mn”( 真 )注 : 否命题“若 pq,m
4、n”应理解为“ pq 或 mn”即是指: pq,但 m=n,p=q 但 mn,而不含 pq且 mn因为原命题中的条件: “若 p=q,m=n”应理解为“若p=q 且 m=n,”而这一语句的否定应该是“pq 或 mn”例 2:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。( 1)等底等高的两个三角形是全等三角形;( 2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0。解:( 1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高。真命题;否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等。真命题;逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等或不等高。假命题。( 2)逆命题:若 a=0 或 b
5、=0,则 ab=0。真命题;否命题:若 ab 0, 则 a 0 且 b0. 真命题;逆否命题:若 a 0 且 b 0,则 ab 0。真命题。探究二 : 充分必要条件的判定例 3:“ m1 ”是“直线 (m 2) x 3my 10与直线 (m2)x(m2) y 3 02相互垂直”的()A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案: B;解析:当 m1 时两直线斜率乘积为1从而可得两直线垂直,当 m2 时两直线一2条斜率为 0一条斜率不存在 ,但两直线仍然垂直.因此 m1是题目中给出的两条直线2垂直的充分但不必要条件。注:对于两条直线垂直的充要条件k1 ,k2 都存
6、在时 k1.k21 k1 ,k2 中有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。探究三:利用充分、必要条件解决待定系数问题例 4:已知 p:,q:, 若 p 是 q的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。解 :P:-2; q:1-mm+1由题意可知: P 是 q 的充分不必要条件,所以所以, m|3<m<9探究四:充要条件的探究与证明例 5 求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为a0 或 a=1.分析:( 1)讨论 a 的不同取值情况;( 2)利用根的判别式求 a 的取值范围 .解答:充分性:当 a=0 时,方程变为 2x+1=0, 其根为 x=1
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